Вариант 2
1) Пользуясь рисунком, где CA и CB - наклонные к плоскости альфа, CM - перпендикуляр, AM = 5см, MB = 7см, укажите верные неравенства
а)BC<CM
б)MC<MA
в)CA>CB
г) MB>CM
2) Основанием прямоугольного параллелепипеда является прямоугольник с изменениями 2см и 14см, а диагональ параллелепипеда равна 15см. Найдите третье измерение параллелепипеда.
3) Стороны прямоугольника ABCD равны 6см и 6√3см. К плоскости прямоугольника через точку пересечения его диагоналей проведён перпендикуляр PO, равный 6см. Найдите угол между прямой PS и плоскостью прямоугольника ABCD.
4)В треугольнике ABC, AB=10см, BC=17см, AC=21см. Из вершины A к его плоскости проведён перпендикуляр AD, равный 5см. Найдите расстояние от точки D до стороны.
а) Нам нужно сравнить длину сторон BC и CM. Из рисунка мы видим, что от точки C до точки B идет наклонная, а от точки C до точки M идет основание. Так как в треугольнике наклонная всегда длиннее основания, то неравенство BC < CM неверно. Ответ: неравенство а) неверно.
б) Теперь нам нужно сравнить длину сторон MC и MA. Из рисунка видно, что точка M находится между точкой C и точкой A, поэтому отрезок MC будет короче отрезка MA. Таким образом, неравенство MC < MA верно. Ответ: неравенство б) верно.
в) Сравним длину сторон CA и CB. Обратите внимание, что CA и CB - это две наклонные, а наклонные всегда длиннее оснований в треугольнике. Поэтому неравенство CA > CB верно. Ответ: неравенство в) верно.
г) В данном случае нам нужно сравнить длину стороны MB и стороны CM. Из рисунка видно, что MB - это наклонная, а CM - основание. В треугольнике наклонные всегда длиннее оснований. Поэтому неравенство MB > CM верно. Ответ: неравенство г) верно.
2) Пусть x - третье измерение прямоугольного параллелепипеда. Из информации, что одна из сторон прямоугольника равна 14 см, мы можем сделать предположение, что эта сторона является основанием параллелепипеда. Также известно, что диагональ параллелепипеда равна 15 см. Мы можем рассмотреть треугольник, состоящий из этой диагонали и двух сторон прямоугольника (включая основание). Из этого треугольника по теореме Пифагора мы можем выразить одну из сторон прямоугольника:
(14 см)^2 + x^2 = (15 см)^2
196 + x^2 = 225
x^2 = 225 - 196
x^2 = 29
x = √29 см
Ответ: третье измерение параллелепипеда равно √29 см.
3) Нам даны стороны прямоугольника ABCD - 6 см и 6√3 см. Также дан перпендикуляр PO, равный 6 см. Нам нужно найти угол между прямой PS и плоскостью прямоугольника ABCD.
Для начала, найдем высоту треугольника POS. Мы можем использовать теорему Пифагора:
PO^2 = OS^2 + PS^2
6^2 = OS^2 + PS^2
36 = OS^2 + PS^2
Теперь нам нужно найти длину сторон треугольника POS, используя известные стороны прямоугольника ABCD. Мы можем использовать теорему Пифагора:
OS^2 = AD^2 + AO^2
OS^2 = 6^2 + (6√3)^2
OS^2 = 36 + 108
OS^2 = 144
OS = 12 см
Теперь мы можем найти длину отрезка PS, используя найденные значения:
36 = 144 + PS^2
PS^2 = 144 - 36
PS^2 = 108
PS = √108 см
Для нахождения угла между прямой PS и плоскостью прямоугольника ABCD мы можем использовать теорему косинусов:
cos(угол) = (6^2 + √108^2 - 12^2) / (2 * 6 * √108)
cos(угол) = (36 + 108 - 144) / (2 * 6 * √108)
cos(угол) = 0 / (12 * √108)
cos(угол) = 0
Угол между прямой PS и плоскостью прямоугольника ABCD равен 90 градусов.
4) В треугольнике ABC, AB = 10 см, BC = 17 см, AC = 21 см. Из вершины A к его плоскости проведен перпендикуляр AD, равный 5 см. Нам нужно найти расстояние от точки D до стороны.
Для начала, давайте найдем площадь треугольника ABC, используя формулу Герона:
s = (AB + BC + AC) / 2
s = (10 + 17 + 21) / 2
s = 48 / 2
s = 24
Площадь треугольника ABC = √[s * (s - AB) * (s - BC) * (s - AC)]
Площадь треугольника ABC = √[24 * (24 - 10) * (24 - 17) * (24 - 21)]
Площадь треугольника ABC = √(24 * 14 * 7 * 3)
Площадь треугольника ABC = √(14 * 7 * 3 * 6)
Площадь треугольника ABC = √(14 * 7 * 18)
Площадь треугольника ABC = √(14 * 126)
Площадь треугольника ABC = √(1764)
Площадь треугольника ABC = 42 см^2
A = 1/2 * основание * высота
42 = 1/2 * AB * AD
42 = 1/2 * 10 * AD
42 = 5 * AD
AD = 42 / 5
AD = 8.4 см
Ответ: расстояние от точки D до стороны треугольника равно 8.4 см.