Поскольку биссектриса делит угол пополам, то
∠ДСА=∠ДСВ=60°, /2=30°, и тогда в ΔАДС угол Д равен 60°, т.е. 180°-90°-30°=60°.
Треугольники АВС и АСД подобны по первому признаку подобия, во - первых, у них есть общий прямой угол А, а во-вторых, ∠В=∠С=30°.
Треубуемое доказано по двум равным углам в треугольниках.
По свойству биссектрисы угла - она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам, поэтому
АД/ВД =АС/ВС=1/2=0,5, поскольку АС- катет, лежащий против угла в 30°, и он равен половине гипотенузы ВС.
S=(х+2х)·Н/2 - площадь трапеции, по условию она равна 30.
Значит х·Н=20. Это очень нужное в дальнейшем значение.
S (Δ APД) = 1/2·АД·H/2 (точка P - середина АВ)
S( Δ APД) = 1/2 х·Н=10 ( я обращала внимание, что х·Н=20)
Проведем высоту RМ паралелльно СК. Из подобия треугольников СКД и RМД
RM=2H/3
S( Δ ARД) = 1/2·2х·2Н/3= 2х·Н/3= 40/3
Площадь треугольника APД состоит из площадей треугольников APQ и AQД. В сумме дает 10
Площадь треугольника ARД состоит из площадей треугольников QPД и AQД, сумме 40/3.
Запишем это в виде равенств и вычтем из второй строки первую
Получим S ( ΔQPД) = S (Δ APQ) + 10/3
Обозначим S ( Δ APД) = s
Выразим площади всех треугольников через s
S ( Δ ABQ) = s ( у треугольников равны основания АР=РВ и высота общая)
S ( Δ AQД) = 10 - s
S (Δ QRД) = s + 10/3 ( см. выше)
S( Δ BCR) = 1/2 ·ВС· Н/3 ( высота из точки R на сторону ВС, в силу условия ДR:RC=2:1) = 1/6· х·Н= 20/6=10/3
S (Δ ABR) = S ( всей трапеции) - S( ΔARД) - S (Δ BCR)= 30 - 40/3 - 10/3=40/3
Получили, что площади треугольков ABR и ARД равны. Поскольку основание AR - общее, значит и высоты, проведенные из точек В и Д на сторону AR равны.
Значит и площади треугольников ABQ и AQД тоже равны. У них основание общее AQ. Высоты равны.
Поэтому s+s=10-s
s=10|3
ответ Площадь треугольника APQ равна 10/3