Пусть точка О - точка пересечения АД и ВЕ. В ΔАВД по условию ВО является биссектрисой и высотой, значит и медианой АО=ОД=АД/2=2, а этот треугольник - равнобедренный АВ=ВД. ВС=2ВД=2АВ По свойству биссектрисы ВС/ЕС=АВ/АЕ 2АВ/ЕС=АВ/АЕ ЕС=2АЕ АС=АЕ+ЕС=3АЕ Проведем из вершины В прямую, параллельную АС, до пересечения с продолжением медианы АД в точке М. ΔАДС и ΔМДВ равны по стороне (ВД=ДС) и 2 прилежащим углам (вертикальные углы <АДС=<МДВ, накрест лежащие углы <МВД=<АСД). Значит АС=ВМ=3АЕ. ΔАОЕ и ΔМОВ подобны по 2 углам: АО/ОМ=ЕО/ВО=АЕ/ВМ=1/3 ЕО/ВО=1/3 ВО=3ЕО ВЕ=ВО+ЕО=4ЕО ЕО=ВЕ/4=4/4=1 ВО=3 Из прямоугольного ΔАОВ: АВ²=АО²+ВО²=4+9=13 сторона АВ=√13 сторона ВС=2√13 Из прямоугольного ΔАОЕ: АЕ²=АО²+ЕО²=4+1=5, АВ=√5 сторона АС=3√5 ответ: √13, 2√13 и 3√5
Правильная треугольная пирамида SABC- это пирамида, основанием которой является правильный треугольник ABC (АВ=ВС=АС), а вершина S проецируется в центр основания O. Высота основания СК=6 (она же и медиана, и биссектриса) Значит сторона основания АВ=2СК/√3=2*6/√3=4√3 <SСO=60° Т.к. в равностороннем треугольнике центр О является центром вписанной и описанной окружности, то значит ОС - это радиус описанной окружности.: ОС=АВ/√3=4√3/√3=4. Из прямоугольного ΔSОС найдем SО: SО=ОС*tg 60=4√3. Объем пирамиды V=SO*AB²/4√3=4√3*(4√3)²/4√3=48
В ΔАВД по условию ВО является биссектрисой и высотой, значит и медианой АО=ОД=АД/2=2, а этот треугольник - равнобедренный АВ=ВД.
ВС=2ВД=2АВ
По свойству биссектрисы ВС/ЕС=АВ/АЕ
2АВ/ЕС=АВ/АЕ
ЕС=2АЕ
АС=АЕ+ЕС=3АЕ
Проведем из вершины В прямую, параллельную АС, до пересечения с продолжением медианы АД в точке М.
ΔАДС и ΔМДВ равны по стороне (ВД=ДС) и 2 прилежащим углам (вертикальные углы <АДС=<МДВ, накрест лежащие углы <МВД=<АСД).
Значит АС=ВМ=3АЕ.
ΔАОЕ и ΔМОВ подобны по 2 углам:
АО/ОМ=ЕО/ВО=АЕ/ВМ=1/3
ЕО/ВО=1/3
ВО=3ЕО
ВЕ=ВО+ЕО=4ЕО
ЕО=ВЕ/4=4/4=1
ВО=3
Из прямоугольного ΔАОВ:
АВ²=АО²+ВО²=4+9=13
сторона АВ=√13
сторона ВС=2√13
Из прямоугольного ΔАОЕ:
АЕ²=АО²+ЕО²=4+1=5, АВ=√5
сторона АС=3√5
ответ: √13, 2√13 и 3√5