Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух его сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине.
МР = АВ/2, ⇒
МР = АК = КВ
КР = ВС/2, ⇒
КР = ВМ = МС
КМ = АС/2, ⇒
КМ = АР = РС.
Таким образом ΔАКР = ΔКВМ = ΔРМС = ΔМРК по трем сторонам.
Для ΔАКР и ΔАВС:
∠А - общий,
∠АКР = ∠АВС как соответственные при пересечении параллельных прямых КР и ВС секущей АВ, значит
ΔАКР подобен ΔАВС по двум углам.
Значит треугольнику АВС будут подобны и все остальные треугольники, равные треугольнику АКР:
ΔКВМ подобен ΔАВС
ΔРМС подобен ΔАВС
ΔМРК подобен ΔАВС
a = 12 см
b = 16 см
Найдем гипотенузу треугольника по теореме Пифагора:
c = √(a² + b²) = √(12² + 16²) = √(144 + 256) = √400 = 20 см
а) синус большего острого угла треугольника:
больший острый угол лежит против большего катета, т.е. ∠В.
Синус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:
sin B = b / c = 16 / 20 = 0,8
б) сумму синусов острых углов:
sin A = a / c = 12 / 20 = 0,6
sin A + sin B = 0,6 + 0,8 = 1,4
в) тангенс одного из острых углов:
тангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к прилежащему:
tg A = a / b = 12 / 16 = 3/4
г) произведение тангенсов острых углов:
tg B = b / a = 16 / 12 = 4/3
tg A · tg B = 3/4 · 4/3 = 1
д) сумму квадратов синуса и косинуса каждого из острых углов:
косинус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению прилежащего катета к гипотенузе:
cos A = b / c = 16 / 20 = 0,8
cos B = a / c = 12 / 20 = 0,6
sin²A + cos²A = 0,6² + 0,8² = 0,36 + 0,64 = 1
sin²B + cos²B = 0,8² + 0,6² = 0,64 + 0,36 = 1
е) произведение тангенса и котангенса каждого из острых углов:
котангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению прилежащего катета к противолежащему:
ctg A = b / a = 16 / 12 = 4/3
ctg B = a / b = 12 / 16 = 3/4
tg A · ctg A = 3/4 · 4/3 = 1
tg B · ctg B = 4/3 · 3/4 = 1