Итак, неравенство 5ctg²x + 3ctgx - 2 < 0 верно только в интервале (-1, 2/5).
Таким образом, мы получили, что неравенство 2sin²x - 3sinxcosx - 5cos²x > 0 равносильно неравенству 5ctg²x + 3ctgx - 2 < 0 только в интервале (-1, 2/5).
Для начала давайте разберемся, что означают данные символы и буквы:
∆ - символ, обозначающий "треугольник"
А, В, С - вершины треугольника
BC, AC, AB - стороны треугольника, где BC соответствует стороне между вершинами В и С, AC - сторона между вершинами А и С, AB - сторона между вершинами А и В
✓ - символ, обозначающий "корень квадратный"
S - неявно указано, что это площадь треугольника
Теперь давайте приступим к решению задачи.
У нас дано, что BC = ✓58, AC = ✓65 и AB = 5.
Мы можем использовать формулу Герона для нахождения площади треугольника:
S = √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c))
Где p - полупериметр треугольника, а, b и c - длины сторон треугольника.
Для начала найдем полупериметр треугольника. Мы можем его посчитать, сложив длины всех сторон и разделив на два:
p = (BC + AC + AB) / 2
Подставим известные значения:
p = (✓58 + ✓65 + 5) / 2
Теперь найдем разность площадей:
p - BC = (√58 + √65 + 5) / 2 - √58
Итак, мы выразили BC в терминах p. Для удобства дальнейших вычислений заменим √58 и √65 на числа.
Пусть √58 = a и √65 = b. Тогда:
p - BC = (a + b + 5) / 2 - a
Упростим выражение:
p - BC = (a + b + 5 - 2a) / 2
p - BC = (b - a + 5) / 2
Теперь вычислим значения a и b:
√58 = a ≈ 7.6157
√65 = b ≈ 8.0623
Подставим значения a и b в полученное ранее выражение:
p - BC = (8.0623 - 7.6157 + 5) / 2
p - BC ≈ 5.7233 / 2
p - BC ≈ 2.8617
Полупериметр треугольника p - BC ≈ 2.8617
Теперь найдем площадь треугольника, используя формулу Герона:
Для удобства введем новое обозначение: y = sin x / cos x = tg x. Тогда мы можем переписать данное неравенство в виде:
2sin²x - 3sinxcosx - 5cos²x = 2y² - 3y - 5 > 0.
Заметим, что данное неравенство является квадратным трехчленом. Чтобы упростить его, найдем корни этого уравнения, которое будет выглядеть так:
2y² - 3y - 5 = 0.
Используем формулу дискриминанта для нахождения корней:
D = b² - 4ac = (-3)² - 4 * 2 * (-5) = 9 + 40 = 49.
Так как дискриминант положительный, то у нас два различных действительных корня. Используем формулу:
y₁ = (-b + √D) / (2a) = (3 + 7) / 4 = 10 / 4 = 5 / 2,
y₂ = (-b - √D) / (2a) = (3 - 7) / 4 = -4 / 4 = -1.
Итак, у нас есть два корня: y₁ = 5/2 и y₂ = -1. Проведем тестирование интервалов между корнями, чтобы определить знак неравенства 2y² - 3y - 5 > 0.
Рассмотрим интервалы:
1) (-∞, -1)
2) (-1, 5/2)
3) (5/2, +∞)
Выберем точку внутри каждого интервала:
1) y = -2
2) y = 0
3) y = 3
Подставим эти значения y в неравенство 2y² - 3y - 5 > 0:
1) 2(-2)² - 3(-2) - 5 = 8 + 6 - 5 = 9 > 0 (верно)
2) 2(0)² - 3(0) - 5 = 0 - 5 = -5 < 0 (неверно)
3) 2(3)² - 3(3) - 5 = 18 - 9 - 5 = 4 > 0 (верно)
Итак, неравенство 2sin²x - 3sinxcosx - 5cos²x > 0 верно только в интервалах (-∞, -1) и (5/2, +∞).
Теперь рассмотрим неравенство 5ctg²x + 3ctgx - 2 < 0.
Для удобства введем новое обозначение: z = ctg x = 1 / tg x. Тогда мы можем переписать данное неравенство в виде:
5ctg²x + 3ctgx - 2 = 5/z² + 3/z - 2 < 0.
Заметим, что данное неравенство также является квадратным трехчленом. Чтобы упростить его, найдем корни этого уравнения, которое будет выглядеть так:
5/z² + 3/z - 2 = 0.
Перепишем это уравнение в виде замены переменной:
5z² + 3z - 2 = 0.
Для нахождения корней данного уравнения воспользуемся квадратным трехчленом:
D = b² - 4ac = 3² - 4 * 5 * (-2) = 9 + 40 = 49.
Так как дискриминант положительный, то у нас два различных действительных корня:
z₁ = (-b + √D) / (2a) = (-3 + 7) / 10 = 4 / 10 = 2 / 5,
z₂ = (-b - √D) / (2a) = (-3 - 7) / 10 = -10 / 10 = -1.
Теперь проведем тестирование интервалов между корнями, чтобы определить знак неравенства 5z² + 3z - 2 < 0.
Рассмотрим интервалы:
1) (-∞, -1)
2) (-1, 2/5)
3) (2/5, +∞)
Выберем точку внутри каждого интервала:
1) z = -2
2) z = 0
3) z = 1
Подставим эти значения z в неравенство 5z² + 3z - 2 < 0:
1) 5(-2)² + 3(-2) - 2 = 20 - 6 - 2 = 12 > 0 (неверно)
2) 5(0)² + 3(0) - 2 = 0 - 2 = -2 < 0 (верно)
3) 5(1)² + 3(1) - 2 = 5 + 3 - 2 = 6 > 0 (неверно)
Итак, неравенство 5ctg²x + 3ctgx - 2 < 0 верно только в интервале (-1, 2/5).
Таким образом, мы получили, что неравенство 2sin²x - 3sinxcosx - 5cos²x > 0 равносильно неравенству 5ctg²x + 3ctgx - 2 < 0 только в интервале (-1, 2/5).