BD – биссектриса Δ ABC. На ее продолжении выбрана точка K так, что DK=AB. При этом оказалось, что AK║BC. Докажите, что AB > BC
АК║ВС. ВК секущая при этих параллельных прямых, и угол СВК=углу ВКА как накрестлежащие. Угол АВК=углу КВС, т.к. ВD - биссектриса. ⇒ угол АВК=углу АКВ ⇒ треугольник ВАК - равнобедренный. АВ=АК. Но DК=АВ по условию. Следовательно, и треугольник АКD - равнобедренный. АС - секущая при параллельных ВС и АК, и углы ВСА и САК равны как накрестлежащие. В равнобедренном треугольнике АКD угол DАК=углу АDК Но угол ВDС треугольника ВDС, как вертикальный, равен углу АDК. ⇒ угол ВDС=углу ВСD Треугольник DВС - равнобедренный и ВD=ВС. Опустим из В на АС перпендикуляр ВН и вспомним теорему: Если из одной и той же точки проведены к прямой две наклонные, то та из них больше, которая имеет большую проекцию на эту прямую. АН проекция АВ на АС. DН - проекция ВD на АС АН=АD+DН, поэтому АН >DH. Следовательно, АВ>ВD. Но, как доказано выше, ВD =ВС. Следовательно, АВ>BC, что и требовалось доказать. ---------- [email protected]
Проведем еще одну медиану ВЕ. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины. Каждая медиана делит треугольник на два равновеликих. Три медианы треугольника делят его на 6 равновеликих треугольников
Рассмотрим треугольник МОА. АМ=10:2=5 ( т.к. СМ- медиана). МО=СМ:3=5 АМ=МО Треугольник АМО - равнобедренный. Опустив высоту МН, получим «египетские» треугольники, в которых МН=4 ( проверьте по т.Пифагора) Площадь АМО=МН*АН=12. S ABC=S MOH*6=72АМ=МВ, АН=НО ⇒ МН -средняя линия треугольника АВО ⇒ МН параллельна ВО по свойству средней линии. ВО=МН*2=8 ВО:ОЕ=2:1 по свойству медианы ⇒ ОЕ=8:2=4 .Т.к. МК || ВО, ∠ АОЕ =∠ МНО как накрестлежащий, поэтому ∠ АОЕ=90°, ⇒ треугольник АОЕ прямоугольный. АЕ²=АО²+ОЕ² АЕ²=36 +16=52 АЕ=2√13 АС=2*АЕ=4√13
что DK=AB. При этом оказалось, что AK║BC. Докажите, что AB > BC
АК║ВС. ВК секущая при этих параллельных прямых, и угол СВК=углу ВКА как накрестлежащие.
Угол АВК=углу КВС, т.к. ВD - биссектриса. ⇒
угол АВК=углу АКВ ⇒
треугольник ВАК - равнобедренный.
АВ=АК. Но DК=АВ по условию.
Следовательно, и треугольник АКD - равнобедренный.
АС - секущая при параллельных ВС и АК, и углы ВСА и САК равны как накрестлежащие.
В равнобедренном треугольнике АКD угол DАК=углу АDК
Но угол ВDС треугольника ВDС, как вертикальный, равен углу АDК. ⇒
угол ВDС=углу ВСD
Треугольник DВС - равнобедренный и ВD=ВС.
Опустим из В на АС перпендикуляр ВН и вспомним теорему:
Если из одной и той же точки проведены к прямой две наклонные, то та из них больше, которая имеет большую проекцию на эту прямую.
АН проекция АВ на АС.
DН - проекция ВD на АС
АН=АD+DН, поэтому АН >DH.
Следовательно, АВ>ВD.
Но, как доказано выше, ВD =ВС. Следовательно, АВ>BC, что и требовалось доказать.
----------
[email protected]