Точки D, E, F и K средины рёбер AB, MB, MC, AC тетраэдра MABC соответственно BC = 42 СМ, AM = 36см. Докажите, что точки D, E, F, K являются вершинами параллелограмма, и вычеслите периметр этого параллелограмма
Точки D, E, F и K средины рёбер AB, MB, MC, AC тетраэдра MABC соответственно BC = 42 СМ, AM = 36см. Докажите, что точки D, E, F, K являются вершинами параллелограмма, и вычислите периметр этого параллелограмма.
Объяснение:
1) DE-средняя линия ΔАВМ ⇒ DE=1/2*36=18(см) и DE║АМ;
KF-средняя линия ΔАМC ⇒ KF=1/2*36=18(см) и KF║АМ.
По признаку параллелограмма о равных и параллельных сторонах четырехугольника, DEFK-параллелограмм.
1)Плоскость параллельна АВ, значит отрезок КМ принадлежащий и плоскости а и плоскости АВС - параллелен АВ. Значит тр-ки АВС и КМС подобны. Из подобия имеем: АВ/КМ=АС/КС или АВ/36=18/12.. Отсюда АВ = 54см. 2) В равнобедренном тр-ке АВС высота ВD1 к основанию АС является и медианой, то есть AD1=AC/2 = 16cм. Тогда высота BD1 по Пифагору равна √(34²-16²) = 30см. В прямоугольном тр-ке ВDD1 гипотенуза DD1 = √(BD1²+BD²)= √(900+400) ≈ 36cм. Синус угла между плоскостями АВС и ADC - это Sin <DD1B = BD/DD1 = 0,56. Значит угол равен 34°
Δ ABC - правильный ⇒ АВ=ВС=АС и ∠А=∠В=∠С=60° DB=DA=DC=6 ⇒ равные наклонные имеют равные проекции NB=NA=NC ⇒ N - центр описанной окружности
∠ADN=∠BDN=CDN=30°
Из прямоугольного треугольника АDN R=AN=3 - катет против угла в 30° градусов равен половине гипотенузы. H(пирамиды)=DN=√(6²-3²)=√27=3√3 cм. По формуле нахождения радиуса R окружности, описанной около равностороннего треугольника cо стороной а: R=(a√3)/3 легко найти сторону треугольника.
3=(a√3)/3 ⇒a=3√3 см.
S(ΔABC)=(1/2)·a·a·sin60°=(a²√3)/4
При а=3√3 S(ΔABC)=(27√3)/4 - площадь основания
Для равностороннего треугольника N- является и центром вписанной окружности
NL=NK=r
r=(a√3)/6=3/2 Из Δ DNL по теореме Пифагора апофема боковой грани
h=DL=√(DN²+NL²)=√(27+(9/4))=3√10/2.
S (бок)=(1/2)·Р ( осн.) ·Н=(1/2)·(9√3·)(3√3)=81/2=40,5 кв см.
Точки D, E, F и K средины рёбер AB, MB, MC, AC тетраэдра MABC соответственно BC = 42 СМ, AM = 36см. Докажите, что точки D, E, F, K являются вершинами параллелограмма, и вычислите периметр этого параллелограмма.
Объяснение:
1) DE-средняя линия ΔАВМ ⇒ DE=1/2*36=18(см) и DE║АМ;
KF-средняя линия ΔАМC ⇒ KF=1/2*36=18(см) и KF║АМ.
По признаку параллелограмма о равных и параллельных сторонах четырехугольника, DEFK-параллелограмм.
2) Р=2*(DE+DK).
DК-средняя линия ΔАВС ⇒ DК=1/2*42=21(см) .
Р=2*(18+21)=78( см) .