Question

Выясните, какие из векторов a(2;-3;1), b(-4;6;-2), c(3;-2;1) коллинеарны, и найдите их скалярное произведение.

Answer 1

Для определения коллинеарности векторов a, b и c, необходимо проверить, существует ли такое число k, при котором вектор a можно представить как произведение вектора b на число k и вектора c. Иными словами, мы должны найти такую константу k, для которой выполняется равенство a = k * b + c.

Давайте сначала проверим, выполняется ли это равенство для векторов a и b:

a = k * b + c
(2;-3;1) = k * (-4;6;-2) + (3;-2;1)

Теперь решим это уравнение:

Чтобы уравнение было верным, координаты левой стороны должны равняться сумме произведения координат вектора b на k и соответствующих координат вектора c.

2 = -4k + 3
-3 = 6k - 2
1 = -2k + 1

Решим первое уравнение:

-4k + 3 = 2
-4k = -1
k = 1/4

Решим второе уравнение:

6k - 2 = -3
6k = -1
k = -1/6

Решим третье уравнение:

-2k + 1 = 1
-2k = 0
k = 0

Таким образом, мы получили три значения для k: 1/4, -1/6 и 0.

Теперь, чтобы доказать, что векторы a, b и c коллинеарны, мы должны проверить, выполняется ли это равенство для всех трех значений k. Если это истинно для любого значения k, то векторы коллинеарны.

Для k = 1/4:

a = (2;-3;1)
b = (1/4) * (-4;6;-2) + (3;-2;1)
b = (-1;3/2;-1/2) + (3;-2;1)
b = (2; -1/2; 1/2)

Для k = -1/6:

a = (2;-3;1)
b = (-1/6) * (-4;6;-2) + (3;-2;1)
b = (2/3; -1; 1/3)

Для k = 0:

a = (2;-3;1)
b = 0 * (-4;6;-2) + (3;-2;1)
b = (3;-2;1)

Таким образом, мы видим, что для каждого значения k вектор a представляется в виде произведения вектора b на k и вектора c. Это означает, что векторы a, b и c коллинеарны.

Теперь найдем скалярное произведение для векторов a и b. Скалярное произведение вычисляется следующим образом:

a*b = (x1*y1) + (x2*y2) + (x3*y3)

где (x1, x2, x3) и (y1, y2, y3) - координаты векторов a и b соответственно.

a = (2;-3;1)
b = (-4;6;-2)

a*b = (2*-4) + (-3*6) + (1*-2)
a*b = -8 - 18 - 2
a*b = -28

Таким образом, скалярное произведение векторов a и b равно -28.