Дано: треугольник ABC, ∠A = 90°
Доказать: ∠A < 90°, ∠B < 90°
1) Проведём прямую, параллельную прямой, которой принадлежит сторона AB и проходящей через точку С. Обозначим точку D на этой прямой ниже точки C. Обозначим точку E на этой прямой выше точки C.
2) ∠B = ∠BCE как накрест лежащие при параллельных прямых AB и DE и секущей BC.
3) ∠A = ∠ACD как накрест лежащие при параллельных прямых AB и DE и секущей AC.
4) Так как ∠ACD = ∠ACE как односторонние при параллельных прямых AB и DE и секущей AC, то ∠ACE = 90°.
5) Так как сумма односторонних углов равна 180°, то ∠ACE = 90°, а ∠BCE = ∠B, значит, ∠B < 90° и ∠С < 90°, поскольку ∠B + ∠С = 90°.
Значит, ∠B и ∠С - острые. Что и требовалось доказать.
1. Рассмотрим две пересекающиеся окружности. ∠BAC=∠BDC, как вписанные углы, опирающиеся на равные дуги одинаковых окружностей. Исходя из равенства углов, видим, что треугольник ADC - равнобедренный. AC=CD=13.
2. Рассмотрим треугольник AED. По условию, DC=CE, т.е. C - середина стороны ED, а значит отрезок AC - медиана для этого треугольника. Из предыдущего пункта мы знаем, что AC=CD, а значит AC=DC=CE=13.
3. Зная, что AC - медиана, можем написать формулу для ее нахождения:
AC=1/2*√(2*AD²+2*AE²-ED²);
Знаем, что AC=13; AD=10; ED=EC+CD=13+13=26. Получается уравнение, решив которое, найдем AE:
13=1/2*√(2*10²+2*AE²-26²);
13=1/2*√(200+2*AE²-676);
26=√(200+2*AE²-676);
676=200+2*AE²-676;
200+2*AE²=1352;
2*AE²=1152;
AE²=576;
AE=24.
ответ: AE=24.