Question

Найти площадь сечения плоскостью куба проходящей через ребро ав и середину ребра в1с1, если ребро куба равно 2 см.

Answer 1

Впишем куб в координатную плоскость x;y;z 
Тогда координата точки $A(0;0;2)\\ M(1;2;0)$
Получиться треугольник АВМ, длина стороны $BM=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}\\ AM=\sqrt{1^2+2^2+2^2}=3\\ AB=2\\$
$M_{1}(1;2;2)\\ BM_{1}=\sqrt{1^2+2^2+2^2}=3\\ cos(BM \ \ MM_{1})=\frac{9-4-5}{-4\sqrt{5}}=0\\ a=90\\ S=2*\sqrt{5}$зная стороны найдем площадь , по теореме косинусов угол допустим между сторонами  $BM\ \ AM\\ 4=5+9-6\sqrt{5}cosa\\ cosa=\frac{\sqrt{5}}{3}\\ sina=\frac{2}{3}\\ S_{ABM}=\frac{3*\sqrt{5}*\frac{2}{3}}{2}=\sqrt{5}$

Answer 2

Построение:
Отрезки АВ и ВМ проводим, так как их концы лежат в одной плоскости. Так как сечение пересекает параллельные плоскости по параллельным прямым, то  сечение будет проходить через прямую ММ1 || AB, где М1 - середина ребра А1D1. Точки АМ1 соединяем, так как они лежат в одной плоскости.

Анализ:
В сечении получен параллелограмм АВММ1 (противоположные грани куба параллельны). Докажем, что это прямоугольник. Так как АВ и ВС - перпендикулярные прямые (ребра куба) и АВ и ВВ1 - перпендикулярные прямые (ребра куба), то прямая АВ перпендикулярная плоскости ВВ1С1С, а значит и любой прямой, лежащей в ней, в том числе и прямой ВМ. Значит угол АВМ=90 и в сечении лежит прямоугольник.

Решение:
$S_{ABMM_1}=AB\cdot BM=AB\cdot \sqrt{BB_1^2+B_1M^2} \\\ S=a\cdot \sqrt{a^2+(0.5a)^2}= \frac{a^2 \sqrt{5} }{2} \\\ S= \frac{2^2 \sqrt{5} }{2} =2 \sqrt{5}(sm^2)$

ответ: $2 \sqrt{5}$ см^2