Question

Докажите что четырехугольник с вершинами a(2; 6),b(5; 1),c(2; -4),d(-1; 1)-ромб

Answer 1

Вектор AB(3;-5) Длина АВ= 5 Вектор ВС (-3;-5) Длина ВС =5 Вектор АD(-3;-5) Длина AD= 5 Все стороны равны следовательно ромб

Answer 2

Чтобы доказать, что данный четырехугольник ABCD является ромбом, нам необходимо проверить выполнение нескольких условий:

1. Проверим, что все стороны четырехугольника равны.

Для этого найдем длины сторон AB, BC, CD и DA, а затем сравним их.

AB = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) = √((5 - 2)^2 + (1 - 6)^2) = √(3^2 + (-5)^2) = √(9 + 25) = √34

BC = √((x3 - x2)^2 + (y3 - y2)^2) = √((2 - 5)^2 + (-4 - 1)^2) = √((-3)^2 + (-5)^2) = √(9 + 25) = √34

CD = √((x4 - x3)^2 + (y4 - y3)^2) = √((-1 - 2)^2 + (1 - (-4))^2) = √((-3)^2 + 5^2) = √(9 + 25) = √34

DA = √((x1 - x4)^2 + (y1 - y4)^2) = √((2 - (-1))^2 + (6 - 1)^2) = √(3^2 + 5^2) = √(9 + 25) = √34

Заметим, что все длины сторон равны и равны √34.

2. Проверим, что противоположные стороны параллельны.

Для этого рассчитаем угловые коэффициенты прямых AB и CD, а затем сравним их.

Угловой коэффициент прямой AB = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (1 - 6) / (5 - 2) = -5 / 3

Угловой коэффициент прямой CD = (y4 - y3) / (x4 - x3) = (1 - (-4)) / (-1 - 2) = 5 / 3

Заметим, что угловые коэффициенты равны и равны 5/3.

Таким образом, противоположные стороны параллельны.

3. Проверим, что противоположные стороны равны.

Для этого можно снова использовать найденные ранее длины сторон AB, BC, CD и DA.

Мы уже выяснили, что все стороны равны √34.

Таким образом, противоположные стороны равны.

4. Проверим, что диагонали взаимно перпендикулярны.

Для этого рассчитаем угловой коэффициент прямой AC (диагонали), и затем найдем обратный значению углового коэффициента.

Угловой коэффициент прямой AC = (y3 - y1) / (x3 - x1) = (-4 - 6) / (2 - 2) = (-10) / 0

Мы получили, что угловой коэффициент прямой AC бесконечный, так как знаменатель равен нулю.

Обратное значение углового коэффициента будет равно 0.

Угловой коэффициент прямой AC обратно равен 0.

Таким образом, диагонали взаимно перпендикулярны.

Итак, мы проверили все условия и все они выполняются. Значит, четырехугольник ABCD с вершинами a(2; 6), b(5; 1), c(2; -4), d(-1; 1) является ромбом.