Окружность, центр которой расположен в первой координатной четверти, касается оси Ox в точке M, пересекает две гиперболы y = 
и y = 
(k1, k2 > 0) в точках A и B таких, что прямая AB проходит через начало координат O. Известно, что k1 * k2 = 144. Найдите наименьшую возможную длину отрезка OM.В ответ запишите квадрат длины ОМ.
Объяснение:
Прямая АВ , проходящая через начало координат имеет вид у=кх
Найдем точки пересечения этой прямой и гипербол:
y = и у=кх → = кх , х²= 
; x = 
( т.к. точка пересечения в 1 четверти , то х>0 ). Тогда у= к* .
y = и у=кх → = кх , х²= 
; x = 
( т.к. точка пересечения в 1 четверти , то х>0 ). Тогда у= к* .
По свойство касательной и секущей проведенных из одной точки ОМ²=ОА*ОВ. Найдем ОА и ОВ по формулам расстояния между точками : ОА= 
= 
,
ОB= 
= 
.
Тогда ОМ²= * = 
. Т.к 
≥2 ,по следствию из неравенства о среднем арифметическом и среднем геометрическом , то принимает наименьшее значение равное 2 , а к1*к2=144, то ОМ²=2*√144=2*12=24.
===========================================
Свойство касательной и секущей проведенных из одной точки : "Если из точки к окружности проведены касательная и секущая, то квадрат отрезка касательной от данной точки до точки касания равен произведению длин отрезков секущей от данной точки до точек её пересечения с окружностью."
Формула расстояния между точками d=√( (х₁-х₂)²+(у₁-у₂)² ), где (х₁;у₁ ), (х₂;у₂ ) -координаты концов отрезка.
Вектор а пропорционален вектору, полученному векторным умножением векторов b и c.
Находим d = b x c по Саррюса:
i j k| i j
-4 -7 5| -4 -7
-8 -8 7| -8 -8 = -49i - 40j + 32k + 28j + 40i - 56k = -9i - 12j - 24k.
Получили вектор d, кратный вектору а:
d = (-9; -12; -24). его модуль равен:
|d| = √((-9)² + (-12)² + (-24)²) = √(81 + 144 + 576) = √801.
Подкоренное выражение кратно заданному 801/89 = 9.
То есть модуль а в 3 раза меньше.
Но ортогональным вектор а может иметь как в одном направлении, так и в противоположном.
Поэтому имеются 2 решения:
a = (-3; -4; -8),
(3; 4; 8).
14/2 =7см это AO
10/2=5см это BO
P= 5+7+10=22СМ