Question

Найдите объем правильной треугольной пирамиды,высота которой корень из 3 , а все плоские углы при вершине-прямые

Answer 1

Пусть сторона основания а, тогда боковое ребро, которое является катетом прямоугольного треугольника с гипотенузой равной а, равно а/√2. Вершина пирамиды проецируется в центр основания - точку пересечения медиан. отрезок медианы из вершины до центра равен 2/3 * а√3/2= а√3/3, треугольник, образованный этим отрезком, высотой и боковым ребром - прямоугольный, с катетами  √3,  а√3/3 и гипотенузой  а/√2, 
По теореме Пифагора $( \frac{a}{ \sqrt{2}})^2= (\sqrt{3})^2+( \frac{a \sqrt{3} }{3} )^2$ 
$( \frac{a^2}{2}= 3+\frac{a^2}{3};\frac{a^2}{ 6}=3;a^2=18;$
$V= \frac{1}{3}*S*h= \frac{1}{3}* \frac{a^2 \sqrt{3} }{4} * \sqrt{3} = \frac{18}{4}=4,5$