512√3 см²
Объяснение:
Выполним рисунок. Дан ромб АБСД, диагональ АС=32√3, диагональ ВД, т.О - точка пересечения диагоналей.
Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. Значит, найдём его диагонали.
1 вариант решения
Рассмотрим ΔАВД.
Он - равносторонний.
Докажем это утверждение. АВ=АД как стороны ромба, значит ΔАВД-равнобедренный с основанием ВД и равными ∠АВД=∠АДВ.
∠АВД=60°, т.к. диагональ ромба ВД, является также и бисектрисой ∠АВС=120°. Сумма внутренних углов треугольника равна 180°, значит ΔДАВ=180-60-60=60°. Все три угла равны, значит доказано, что ΔАВД - равносторонний.
Тогда ВД=АВ=АД.
Т.к. у ромба все стороны равны и их 4, то длина стороны ромба равна периметру ромба, делённому на 4: 128/4=32 см.
Тогда площадь ромба АВСД: АС*ВД/2 = 32√3 * 32 / 2 = 512√3 см².
2 вариант решения.
Рассмотрим ΔАВО.
Он - прямоугольный с
гипотенузой АВ, равной стороне ромба,
∠ВОА=90° т.к. диагонали ромба пересекаются под прямым углом
и катетами АО и ВО, равными соответственно половинам диагоналей АС и ВД, т.к диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам,
∠АВО=60°, т.к. диагональ ромба ВД, является также и бисектрисой ∠АВС=120°.
Найдём ВО. Эту величину можно найти 2-мя путями.
ВО=АВ*cos∠ABO = Р/4 * cos 60° = 32 * 0.5 = 16 см или
ВО=АО*ctg∠ABO = 16√3 * 1/√3 = 16 см.
Тогда площадь ромба АВСД: АС*ВД/2 = 32√3 * 16 * 2 / 2 = 512√3 см².
Наличие такого количества решений возникло по причине избыточности условия. Эту задачу можно было бы решить не зная величины периметра ромба, либо без длины диагонали. Ключевое условие здесь, это значение угла , равное 120°.
1) Проведем МН параллельно АD и обозначим ее пересечение с ВК точкой Т.
МН=АD; ВН=АН
АК=АD/2
НТ||АD ⇒ НТ – средняя линия ∆ АВК и равна половине АК, значит, НТ=АD/4⇒
ТМ=AD-AD/4=3АD/4
2) ∠РАК=∠РМТ - накрестлежащие.
Углы при пересечении ВК и АМ равны как вертикальные.
∆ АРК~∆ ТРМ по равным углам.
АК:ТМ=АD/2 : 3АD/4=3/2
Проведем КЕ параллельно АВ.
ВЕ=АК, АВ=КЕ⇒
АВЕК - параллелограмм, его площадь равна половине площади АВСD.
Примем площадь АВСD=Sр (т.е. S parall) Площадь АВЕК=Sр/2
3) Диагональ ВК делит АВЕК пополам.
Площадь ∆ АВК равна половине площади АВЕК=Sр/4
В ∆ АВК ВТ=ТК
Примем коэффициент отношения ТР/РК равным а. Тогда отрезок ТК=3a+2a=5а
ВТ=ТК=5а, ВК=ВТ+ТК=10а.
Площади треугольников с равной высотой относятся как их основания.
S(АРК):SABK=2/10=1/5
S(АРК)= Sp/4•1/5=1/20 ⇒
Площадь ∆ АРК относится к площади параллелограмма как 1/20.
б) Р=19+19+8=46см (не может быть треугольника со сторонами 8,8 и 19, т.к. 8+8<19)
в) Р=8+9+10=27см
г) 5+12+13=30см