Докажем лемму Архимеда через дополнительное построение. Проведём к окружностям общую касательную АМ, пересекающая прямую ВС в точке М. Пусть ∠BAD = α, ∠CAD = β, ∠ACB = γ, тогда ∠ВАМ = ∠АСВ = γ (по свойству угла между касательной МА и хордой АВ), ∠MAD = γ + α, ∠ADB = ∠CAD + ∠ACD = β + γ (по свойству внешнего угла ΔACD). MA и MD - касательные к малой окружности ⇒ МА = MD - как отрезки касательных, ΔAMD - равнобедренный, ∠MAD = ∠MDA ⇒ γ + α = β + γ ⇒ α = β , AD - биссектриса ∠ВАС, ч.т.д. Конечно, данную лемму можно доказать в 2 строчки, заметив гомотетию окружностей, но это дело вкуса.
основное тригонометрическое тождество sin^2a+cos^2a=1 тогда cosA=sqrt(3)/2
1+tg^2a=1/cos^2a тогда tgA=sqrt(1/cos^2A-1)=3/4=0.75