В правильной четырехугольной пирамиде МАВСД боковое ребро равно 8 см и наклонено к плоскости основания под углом 60 градусов . Найти: 1) S боковой поверхности 2) V пирамиды 3) угол между противоположными боковыми гранями 4) V описанного около пирамиды шара 5) угол между боковым ребром АМ и плоскостью ДМС
Объяснение:
Пирамида называется правильной, если ее основание – правильный многоугольник, а высота проходит через центр основания.
Основание данной пирамиды - квадрат.
Её высота МО- катет, противолежащий углу 60º в прямоугольного треугольника с гипотенузой 8 см.
МО=МВ•sin60º=4√3
ОВ противолежит углу 30º
ОВ= МВ•sin30º=4 см
ОВ- половина диагонали квадрата АВСД
ОВ=ОА.
Стороны основания равны АВ=ВО:sin 45º=4√2
Апофема МН по т.Пифагора из ∆ МНВ
МН=√(МС²-НВ²)=√56
1)
Площадь боковой поверхности
S(бок)=4•МН•HВ=4•2•√112=32√7 см²
2)
Объем пирамиды:
V=S•H:3
S (осн)=АВ² =(4√2)² =32 см²
V=(32•4√3):3=128:√3 см³
3)
Угол между противоположными боковыми гранями - это двугранный угол между плоскостями, содержащими эти грани.
Он измеряется величиной угла, образованного прямыми, по которым грани пересекаются перпендикулярной им плоскостью КМН т.е. величине угла между МК и МН
Величину∠КМН можно найти по т.косинусов, по формуле приведения двойного угла или из отношения высоты НР треугольника КМН к апофеме МН. ( длина НР пригодится и дальше).
НР=2S∆ КМН:МК
2S ∆ КМН=МО•КН=4√3•4√2=16√6
НР=16√6:√56=(8√21):7
sin ∠НМР=(8√21):(7•√56)=(√24):7≈ 0,699854....
Это синус угла ≈ 44,4º или 44º24
4)
Объем описанного около пирамиды шара
Около данной пирамиды можно описать шар, так как около ее основания - квадрата - можно описать окружность (свойство описанного шара).
Центр его лежит в точке пересечения высот (срединных перпендикуляров) правильного ∆ ВМД
V=4πR³:3
Радиус описанного шара равен радиусу описанной вокруг правильного ∆ ДМВ окружности. (углы при ДВ=60º)
2R=МВ:sin60º
R=8/√3
V=π•4•(8/√3)³:3
V=π•2048/3•3√3=π•(2048√3):27= 131,379π или при π=3,14 ≈ 412,74
5)
угол между боковым ребром АМ и плоскостью ДМС
На рисунке пирамида для наглядности «уложена» на боковую грань ДМС.
Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и ее проекцией на данную плоскость.
Проекция АМ на плоскость ДМС - это отрезок, который соединяет т.М с основание перпендикуляра из т.А на данную плоскость.
АВ || СД. ⇒АВ параллельна плоскости ДМС,⇒
все точки АВ находятся на равном расстоянии от плоскости ДМС,
Искомый угол -∠ АМТ
Перпендикуляр АТ из точки А наклонной АМ на плоскость ДМС параллелен и равен перпендикуляру из любой другой точки АВ на ту же плоскость. ⇒
АТ=НР=(8√21):7
sin∠ АМТ=АТ:АМ={(8√21):7}:8=(√21):7≈0,65465...
∠ АМТ= ≈40º54’ ≈ 41º
Так как точка М – середина ВС, то АМ – медиана ∆АВС, а СМ=МВ,
АМ=СМ по условию, получим что СМ=МВ=АМ.
Треугольник является прямоугольным, если его медиана делит противоположную сторону на отрезки, равные себе.
Следовательно ∆АВС – прямоугольный с прямым углом САВ.
АТ – биссектриса угла САВ по условию, следовательно угол САТ=угол САВ÷2=90°÷2=45°.
В треугольнике сумма всех углов равна 180°.
Тогда: угол АСТ=180°–угол САТ–угол АТС=180°–45°–56°=79°;
Угол АВС=180°–угол САВ–угол АСВ=180°–90°–79°=11°.
Так как АМ=МВ, то ∆АМВ – равнобедренный с основанием АВ.
Углы при основании равнобедренного треугольника равны.
Значит угол МАВ=угол МВА=11°.
Так как сумма всех углов в треугольнике равна 180°, то угол АМВ=180°–угол МАВ–угол МВА=180°–11°–11°=158°.
ответ: 158°