Доказано, что диагонали равны.
Объяснение:
В выпуклом четырехугольнике прямая, которая проходит через середины двух противоположных сторон, образует равные углы с диагоналями четырехугольника. Докажите, что диагонали равны.
Дано: ABCD - выпуклый четырехугольник;
AC и BD - диагонали;
АМ = МВ; DК = КС;
∠АЕМ = ∠DОК.
Доказать: AC = BD.
Доказательство:
Дополнительное построение:
Отметим Н - середина ВС.
Соединим М и К с Н.
Обозначим углы 1, 2, 3, 4 (см. рис)
1. Рассмотрим ΔАВС.
АМ = МВ (условие);
ВН = НС (построение)
⇒ МН - средняя линия ΔАВС.
Средняя линия равна половине длины стороны, которую она не пересекает, и параллельна ей.⇒ МН || AC, МН = 0,5AC
2. Рассмотрим ΔВСD.
CK = KD (условие);
ВН = НС (построение)
⇒ НK - средняя линия ΔВСD.
⇒ НK || BD, НK = 0,5BD
3. Рассмотрим ΔМНК.
∠1 = ∠3 (накрест лежащие при МН || AC и секущей МK)
∠2 = ∠4 (накрест лежащие при НК || BD и секущей МK)
∠1 = ∠2 (условие) ⇒ ∠3 = ∠4
Если в треугольнике два угла равны, то этот треугольник равнобедренный.⇒ МН = НК.
4. МН = 0,5AC ⇒ АС = 2МН (п.1)
НK = 0,5BD ⇒ BD = 2HK (п.2)
МН = НК (п.3)
⇒ АС = ВD
Доказано, что диагонали равны.
#SPJ1
NK - средняя линия в △SCD => NK||SD, NK=SD/2
Если прямая (NK), не лежащая в плоскости (SAD), параллельна прямой, лежащей в плоскости (NK||SD), то прямая параллельна плоскости (NK||SAD).
Пусть плоскость MNK пересекает плоскость SAD по прямой ML.
Если плоскость (MNK) проходит через данную прямую (NK), параллельную другой плоскости (NK||SAD), то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой (ML||NK).
Тогда ML||NK||SD и ML - средняя линия в △SAD => ML=SD/2=NK
KLMN - параллелограмм (т.к. противоположные стороны параллельны и равны) => LK=MN
Из треугольника MNK по т Пифагора MN=12 =LK