Question

В правильной треугольной усеченной пирамиде сторона нижнего основания 8 см, верхнего - 5 см, а высота - 3 см. Через сторону нижнего основания и противоположную вершину верхнего основания проведено сечение. Определите площадь сечения и угол между ним и нижним основанием решение с дано, найти и рисунком)​

Answer 1

24 м² и 30°.

Объяснение:

Дано:

АВСА1В1С1-правильная усеченная пирамида

АВ=ВС=АС=8 см

А1В1=В1С1=А1С1=5 см

OO1= 3 см

Найти: площадь сечения и угол между ним и нижним основанием

1) СА1В - искомое сечение, т.к. точки А1С и А1В находятся в одних плоскостях.

2)Ось правильной усеченной пирамиды совпадает с осью соответствующей полной пирамиды, поэтому OO1 является высотой усеченной пирамиды.  О1  — центр окружности, описанной около треугольника  А1В1С1, О - центр окружности, вписанной в треугольник  АВС.

Формула для радиуса описанной окружности около равностороннего треугольника:

R=а*$\frac{\sqrt{3}}{3}$

Формула для радиуса вписанной окружности в равносторонний треугольник:

r= а*$\frac{\sqrt{3}}{6}$

R=А1О1=$\frac{5\sqrt{3} }{3}$

r=ОН=$\frac{8\sqrt{3} }{6}$=$\frac{4\sqrt{3} }{3}$

Проведем АН⊥ВС в ΔАВС.  ОО1⊥(АВС)⇒ОО1⊥АН.  

По теореме о трех перпендикулярах А1Н⊥ВС в ΔСА1В.

Угол ∠А1НА - линейный угол искомого двугранного угла.

Рассмотрим ΔА1О1К и ΔНОК.

∠А1О1К=∠НОК=90°, ∠А1КО1=∠НКО как вертикальные.

⇒ ΔА1О1К подобен ΔНОК ( по двум углам).

Из подобия Δ следует:

А1О1:ОН=О1К:КО

А1О1*КО=ОН*О1К

Пусть О1К= х, тогда КО=(3-х):

$\frac{5\sqrt{3} }{3}$* (3-х) =

5√3(3-х)=4√3*х

9√3х=15√3

х=5/3

О1К = 5/3,

КО=3-5/3=4/3

ΔА1О1К(∠О1=90°): по т.Пифагора

А1К=√(А1О1²+О1К²)= √(75/9+25/9)=√(100/9)=10/3

ΔОКН(∠О=90°): по т.Пифагора

КН=√(ОН²+КО²)=√(16/9+48/9)=8/3

А1Н=А1К+КН=10/3+8/3=18/3=6 см

Площадь искомого сечения это площадь ΔСА1В:

S = 1/2 * ВС* А1Н = 1/2 * 8 * 6 = 24 см²

3) Рассмотрим ΔКОН(∠О=90°)

tg ∠KHO = KO/OH = $\frac{4}{3}$ : $\frac{4\sqrt{3} }{3}$ = $\frac{1}{\sqrt{3} }$

Тогда ∠KHO = 30°.

Т.к. ∠А1НА = ∠KHO, то ∠А1НА=30°