Question

В равнобедренной трапеции ABCD угол ACD=90° угол ABC=120° радиус описанной окружности равен 8. Найти периметр ABCD.

Answer 1

$P_{ABCD}= 40$

Объяснение:

Дано:

АВСD - трапеция: AB = CD

∠ACD = 90°

∠ABC = 120°

R = 8

Найти:

$P_{ABCD}$ - периметр трапеции

Вписанный угол ACD равен 90°, следовательно, он опирается на диаметр, которым и является большее основание трапеции

AD = 2R = 16

Около  четырёхугольника можно описать окружность, если у четырёхугольника суммы величин его противоположных углов равны 180°. Следовательно, угол ADC, противоположный углу ABC равен

∠ADC = 180° - ∠ABC = 180° - 120° = 60°

В прямоугольном треугольнике ACD c гипотенузой AD = 16:  ∠ ACD = 90° (дано), ∠ADC = 60° (получено), найдём CD и ∠СAD,

CD = AD · сos 60° = 16 · 0.5 = 8

и

∠СAD = 90° - ∠ADC = 90° - 60° = 30°

Трапеция равнобедренная, значит

АВ = CD - 8

Найдём ВС - меньшее основание трапеции  

Трапеция равнобедренная, следовательно

∠BCD = ∠ABC = 120°

и

∠BAD = ∠ADC = 60°

В треугольнике АВС

∠ВСА = ∠BCD - ∠ACD = 120° - 90° = 30°

∠BAC = ∠BAD - ∠CAD = 60° - 30° = 30°

Cледовательно, ΔАВС - равнобедренный

ВС  = АВ = 8

Периметр трапеции равен

$P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD = 8 + 8 + 8 + 16 = 40$