Первый Пусть BK и CM — медианы треугольника ABC, O — их точка пересечения и AC > AB. Обозначим OM = x, OK = y. Тогда OC = 2x, OB = 2y. По теореме косинусов из треугольников MOB и KOC находим, что BM2 = x2 + 4y2 − 4xy cos ∠MOB, CK2 = 4x2 + y2 − 4xy cos ∠KOC. Поскольку BM = 1 2 AB, KC = 1 2 AC, то BM2 < KC2, или x2 + 4y2 < 4x2 + y2 (∠MOB = ∠KOC). Отсюда следует, что x > y. Поэтому CM = 3x > 3y = BK. Второй Пусть BK и CM — медианы треугольника ABC, O — их точка пересечения и AC > AB. Проведём медиану AN. В треугольниках ANB и ANC сторона AN — общая, BN = CN, а AB < AC, поэтому ∠ANB < ∠ANC (см. задачу 3606). В треугольниках ONB и ONC сторона ON — общая, BN = CN, а ∠ONB < ∠ONC, поэтому OB < OC. Следовательно, BK = 3 2 OB < 3 2 OC = CM.
Пусть K вершина пирамиды, основание ABCD_ромб ; ∠BAD=30°; KO ⊥(ABCD) , KO =h (высота пирамиды) ; OE ⊥ AD ; ∠KEO =60°. E ∈ AD
Sпол -?
Sпол = Sосн + Sбок . Все грани с плоскостью основания составляют равны углы (в данном случае 60°),значит высота пирамиды проходит через центр O окружности вписанной в основании ABCD. Через точку O проведем прямую ,перпендикулярную AD (BC) ,которая пересекает сторону AD допустим в точке E ,а сторону BC в точке F. KE и KF будут апофемы соответственно боковых граней AKD и BKC.Из OE ⊥ AD⇒OE ⊥ KE (теорема трех перпендикуляров). Треугольник EKF_равносторонний: (∠KEO=∠KFO=60°) . Поэтому KE=KF=EF || =2*OE =2*r||. Из ΔKOE: KO =KE*√3/2 ⇒KE=2KO/√3 =2h/√3. KE=KF=EF =2h/√3. Найдем сторону основания.Из вершины B опускаем перпендикуляр BN на AD. EF =BN =AB/2 (катет против угла 30°)⇒ AB=2*EF. --- Sосн =AB*BN =2*EF*EF =2EF² . Sбок=4*(1/2)AD*KE=2AD*KE =2AB*KE =2*2*EF*KE =4EF². Sпол = Sосн + Sбок =2EF²+4EF² =6EF²=6*(2h/√3)² =(6*4/3)h²=8h².
Дано: DABC - правильная пирамида - AB=BC=AC; DO = 18 см ∠DAO = 45° Найти: S₀ -?
Высота правильной пирамиды опускается в центр вписанной/описанной окружности ⇒ OA = OB = OC = R - радиус окружности, описанной около ΔABC ΔAOD - прямоугольный: ∠AOD = 90°; ∠DAO = 45°; DO = 18 см ⇒ ∠ADO = 90° - ∠DAO = 90° - 45° = 45° = ∠DAO ⇒ ΔAOD - прямоугольный равнобедренный ⇒ AO = DO = 18 см - радиус описанной окружности R ⇒ AB = BC = AC = a = R√3 = 18√3 см
Площадь равностороннего треугольника см² Площадь основания 243√3 см² ≈ 420,9 см²
см²
По теореме косинусов из треугольников MOB и KOC находим, что
BM2 = x2 + 4y2 − 4xy cos ∠MOB, CK2 = 4x2 + y2 − 4xy cos ∠KOC.
Поскольку BM = 1 2 AB, KC = 1 2 AC, то
BM2 < KC2, или x2 + 4y2 < 4x2 + y2 (∠MOB = ∠KOC).
Отсюда следует, что x > y. Поэтому CM = 3x > 3y = BK.
Второй Пусть BK и CM — медианы треугольника ABC, O — их точка пересечения и AC > AB.
Проведём медиану AN. В треугольниках ANB и ANC сторона AN — общая, BN = CN, а AB < AC, поэтому ∠ANB < ∠ANC (см. задачу 3606).
В треугольниках ONB и ONC сторона ON — общая, BN = CN, а ∠ONB < ∠ONC, поэтому OB < OC. Следовательно,
BK = 3 2 OB < 3 2 OC = CM.