1. |a| =4.6
2. |в| = 2,2
3. a - b ={3; 0; 1}
4. векторное a * b = {2; 1; -6}
5. cos α ≈ 0.78
6. скалярное произведение a · b =8
Объяснение:
1. |a| = √ax² + ay² + az² = √4² + (-2)² + 1² = √16 + 4 + 1 = √21 ≈ 4.6
3. a - b = {ax - bx; ay - by; az - bz} = {4 - 1; (-2) - (-2); 1 - 0} = {3; 0; 1}
4. векторное a * b = i ((-2)·0 - 1·(-2)) - j (4·0 - 1·1) + k (4·(-2) - (-2)·1) =
= i (0 + 2) - j (0 - 1) + k (-8 + 2) = {2; 1; -6}
5. Найдем скалярное произведение векторов:
a · b = ax · bx + ay · by + az · bz = 4 · 1 + (-2) · (-2) + 1 · 0 = 4 + 4 + 0 = 8
Найдем длины векторов:
|a| = √ax2 + ay2 + az2 = √42 + (-2)2 + 12 = √16 + 4 + 1 = √21
|b| = √bx2 + by2 + bz2 = √12 + (-2)2 + 02 = √1 + 4 + 0 = √5
Найдем угол между векторами:
cos α = a · b/|a||b|
cos α = 8/√21/ √5=0,78
Правильная пирамида
- в основании правильный многоугольник (ABCD - квадрат)
- боковые ребра равны, вершина проецируется в центр описанной окружности основания (H - пересечение диагоналей квадрата)
DC||AB => DC||(KAB)
Плоскость (SDC) проходит через прямую DC, параллельную плоскости (KAB), следовательно линия пересечения плоскостей KP параллельна DC.
a) Плоскость (KAB) пересекает грань SDC по прямой KP.
Пусть KP пересекает SN в точке E.
KE - средняя линия в △DSN по признаку (K - середина SD, KP||DC), E - середина SN.
б) KP||DC||AB => KP||(ABS)
Все точки прямой KP равноудалены от плоскости (ABS).
Найдем расстояние от E до (ABS).
Рассмотрим плоскость (SHN).
H - середина AC, HN - средняя линия в △ACD => MN||AD, M - середина AB (т Фалеса)
SM - медиана и высота (△ASB - р/б), SM⊥AB
SH⊥(ABC) => SH⊥AB
=> AB⊥(SMN) (AB перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости)
Опустим перпендикуляр EF на SM.
AB⊥(SMN) => EF⊥AB
=> EF⊥(ABS), EF - искомое расстояние.
SH=15, MN=AD=16, MH=8 (H - середина MN)
S(MSN) =1/2 MN*SH =120
E - середина SN, ME - медиана => S(MSE) =1/2 S(MSN)
SM =√(MH^2+SH^2) =17
S(MSE) =1/2 SM*EF =1/2 S(MSN) => EF*17=120 => EF=120/17