1. Если построить ВСЕ ТРИ треугольника, образованные высотой пирамиды, апофемой и её проекцией на основание, то это будут прямоугольные треугольники с равными острыми углами, поскольку грани равнонаклонены к основанию. Поэтому равны все апофемы, и - главное - равны их проекции на основание.
То есть проекция вершины пирамиды - это точка, равноудаленная от сторон основания, то есть центр вписанной в основание окружности.
2. В плоскости этого треугольника (можно взять любой из трех, они одинаковые) лежит и отрезок от точки на высоте до стороны основания, заданный в условии, - этот отрезок соединяет эту точку с вершиной апофемы, и образуется равнобедренный треугольник, внешний угол при вершине у которого равен π/2 - β (я считаю, что угол β - это угол между этим отрезком и плоскостью основания, в условии тут неточность - если задан угол с боковой гранью, то β' <=> π/4 - β/2 ). Поэтому острые углы этого равнобедренного треугольника равны π/4 - β/2, причем один из них - это угол между апофемой и высотой пирамиды.
Поэтому радиус вписанной в основание окружности равен
r = h*tg(π/4 - β/2);
3. С другой стороны, катеты прямоугольного треугольника в основании равны
a = r*(1 + tg(α/2)); b = r*(1 + ctg(α/2));
откуда площадь основания
S = r^2*(1 + tg(α/2))*(1 + ctg(α/2))/2 = r^2*(1 + 1/sin(α)) = h^2*(1 + 1/sin(α))*(tg(π/4 - β/2))^2 = h^2*(1 + 1/sin(α))*(1 - sin(β))/(1 + sin(β));
Объем пирамиды равен
V = S*h/3 = (h^3/3)*(1 + 1/sin(α))*(1 - sin(β))/(1 + sin(β));
135°
Объяснение:
тр.АКС
АК=АС (условие) => тр.АКС - р/б => уг.АКС=уг.АСК
тр.ВМС
ВМ=ВС (условие) => тр.ВМС - р/б => уг.ВСМ=уг.ВМС
тр.АВС
Пусть уг.АКС=у. Тогда:
уг.АКС=уг.АСК=у
уг.ВАС=уг.АКС+уг.АСК=2у, т.к. уг.ВАС - внешн. угол треуг. АКС.
Пусть уг.ВМС=х. Тогда;
уг.ВМС=уг.ВСМ=х
уг.АВС=уг.ВМС+уг.ВСМ=2х, т.к. уг.АВС - внешн. угол треуг. ВМС.
тр.АВС - п/у.
уг.АВС+уг.ВАС=90°
2х+2у=90°
х+у=45°
тр.МСК
уг.МСК=уг.АСК+уг.АСВ+уг.ВСМ=х+90°+у=45°+90°=135°