Question

У трикутнику ABC бісектриса АК = 8 см, BK = 6 см, СК = 8 см. Знайди АВ і АС.​

Answer 1

(см. объяснение)

Объяснение:

По свойству биссектрисы угла:

$\dfrac{6}{AB}=\dfrac{8}{AC},\;=\;AC=\dfrac{4}{3}AB$

По формуле биссектрисы угла треугольника:

$AK^2=AB\times AC-BK\times CK$

Подставляем найденное выше и данные из условия в полученную формулу:

$64=\dfrac{4}{3}AB^2-48,\;=\;AB=2\sqrt{21}$

Значит $AC=\dfrac{4}{3}\times2\sqrt{21}=\dfrac{8\sqrt{21}}{3}$

Задание выполнено!

Комментарий:

Задачу можно решить, не применяя формулу биссектрисы угла. Заметим, что из-за равнобедренности треугольника $\cos\angle KAC=\dfrac{AC}{16}=\dfrac{1}{12}AB$.

Тогда по теореме косинусов для треугольника ABK:

$36=64+AB^2-2\times 8\times AB\times\dfrac{AB}{12}\\36-64=AB^2-\dfrac{4}{3}AB^2\\AB=2\sqrt{21}$