Question

Шар вписан в конус. найти наименьший объём конуса, если радиус шара равен 1

Answer 1

Шар вписан в конус. найти наименьший объём конуса, если радиус шара равен 1.

Решение.

1) Рассмотрим осевое сечение данной комбинации тел : равнобедренный ΔАВС , высота ВН ,  точка О-центр вписанной окружности. К-точка касания окружности со стороной АВ. По условию ОН=ОК=1 ед.

Пусть ВН=h  , AH=R.  Vкон=1/3*Sосн*h  ,  Sосн=π*R²

Выразим объём  через высоту конуса.

Отрезок ВО=ВН-ОН=h-1

По т. Пифагора  , ΔABH ,  АВ²=АН²+ВН²=R²+h² .

2) ΔКВО~ ΔHBA  по двум углам(∠В-общий,∠ВКО=АНВ=90° тк радиус перпендикулярен касательной , проведенной в точку касания).

Значит КО:АН=ВО:АВ или 1:R=(h-1): √(R²+h²) ⇒ R²=$\displaystyle \frac{h^{2} }{(h-1)^{2} -1 }$ .

3) V(h)=  $\displaystyle \frac{1}{3} *\pi *\frac{h^{2} }{(h-1)^{2}-1 }*h$ =  $\displaystyle \frac{\pi }{3} *\frac{h^{3} }{h^{2}-2h }$  = $\displaystyle \frac{ \pi *h^{3} }{3h^{2}-6h }$ .

V' = $\displaystyle \frac{3 \pi h^{2}*( 3h^{2}-6h)-\pi h^{3}*(2h-2) }{(3h^{2}-6h)^{2} }=\\$

  =$\displaystyle \frac{3 \pi h^{3}*(h-4) }{(3h^{2}-6h)^{2} }$   , V'=0,   при  h=4 .

V'  _  _  _  _(4) +  +  +  +  

V       ↓                    ↑  ,         значит  h=4  точка минимума. Наименьший объём достигается  в точке минимума .

V  = $\displaystyle \frac{ \pi *4^{3} }{3*4^{2}-6*4 }$  ⇒  V=$\displaystyle \frac{8\pi }{3}$ ед³ .