Заполните пропуски в тексте, чтобы получилось правильное решение. Задача. На биссектрисе угла ABC выбраны точки M и N. Точки P и Q — проекции M и N на лучи BA и BC соответственно. Точка X — середина отрезка MN. Докажите, что PX=QX.
Решение. Пусть точка P′ симметрична точке P относительно прямой MN.
Из симметрии
∠MP′B=
∠BPX
∠BPN
90∘
,
поэтому четырёхугольник MP′QN является
Выбрать
. Опустим из точки X перпендикуляр на прямую BA, обозначим его основание через Y. Отрезок XY является средней линией трапеции MP′QN, поскольку точка X является серединой отрезка MN и
Выбрать
. Следовательно, точка Y является серединой отрезка P′Q и точка X лежит на серединном перпендикуляре к P′Q. Все точки на серединном перпендикуляре равноудалены от концов отрезка, поэтому XP′=XQ. Осталось ещё раз воспользоваться симметрией и заметить, что
MP=MP′
NP=NP′
XP=XP′
.
Это сириус
В задаче говорится, что на биссектрисе угла ABC выбраны точки M и N. То есть, точка M находится на отрезке BA, а точка N находится на отрезке BC. Также есть точки P и Q, которые являются проекциями точек M и N соответственно на лучи BA и BC. Точка X — это середина отрезка MN.
Доказать необходимо, что PX = QX.
Начнем решение задачи.
Пусть точка P′ симметрична точке P относительно прямой MN.
Из симметрии, углы ∠MP′B и ∠BPX - это одинаковые углы. Аналогично, ∠BPN и ∠BPX - это одинаковые углы. Также, ∠BPX является прямым углом (равен 90 градусам).
Это означает, что четырехугольник MP′QN является прямоугольником (так как содержит прямой угол).
Теперь опустим из точки X перпендикуляр на прямую BA и обозначим его основание через Y.
Так как точка X является серединой отрезка MN, а ∠BXN равняется 90 градусам, то отрезок XY является средней линией трапеции MP′QN. Также, является фактом, что ∠XPY является прямым углом.
Значит, точка Y является серединой отрезка P′Q. Важно отметить, что точка X лежит на серединном перпендикуляре к P′Q. Все точки на серединном перпендикуляре равноудалены от концов отрезка, поэтому XP′=XQ.
Осталось лишь воспользоваться симметрией и заметить, что MP=MP′, NP=NP′ и XP=XP′.
Таким образом, получаем, что PX = QX.
Таким образом, мы доказали, что PX равно QX.
Надеюсь, это решение понятно и доступно вам. Если есть ещё вопросы, пожалуйста, задавайте!