Вершину параллелограмма соединили с серединой его стороны . Известно, что угол равен 30°. Докажите, что расстояние от вершины до прямой равно одной из сторон этого параллелограмма.
Высота AD делит гипотенузу BC на две части. Чтобы найти катет AC, нужно найти гипотенузу BC. Рассмотрим прямоугольный треугольник ADB. По теореме Пифагора BD^2 = AB^2 - AD^2 = 20^2 - 12^2 = 400 - 144 = 256, следовательно, BD = 16 (т. е. корень квадратный из 256). BC = BD + DC = 16 + DC. По теореме Пифагора AC^2 = AD^2 + DC^2 = 12^2 +DC^2 = 144 + DC^2. Рассмотрим прямоугольный треугольник CAB. По теореме Пифагора AC^2 = BC^2 - AB^2 = BC^2 - 20^2 = BC^2 - 400 = (16+DC)^2 -400 = 256 + 32 DC + DC^2 -400 = DC^2 + 32 DC - 144. Получаем, что AC^2 = 144 + DC^2 и AC^2 = DC^2 + 32 DC - 144. Приравняем правые части этих равенств, получим, 144 + DC^2 = DC^2 + 32 DC - 144. Откуда получаем 32 DC = 288, следовательно, DC = 9. Т. к. BC = BD + DC, то BC = 16 + 9 = 25. Тогда по теореме Пифагора AC^2 = BC^2 - AB^2 = 25^2 - 20^2 = 625 - 400 = 225, значит, AC = 15. Теперь найдём косинус угла С. По определению, cosC=AC/BC=15/25=3/5
Рассмотрим любой не равнобедренный треугольник АВС, у которого высота и медиана из точки В совпадают. Обозначим этот отрезок BD. Рассмотрим треугольники ABD и CBD. * Они прямоугольные, т.к. ВD - высота. * AD=CD т.к. BD - медиана, делит AC пополам. * ВD - общая сторона Следовательно, треугольники равны по двум катетам. У равных треугольников соответствующие величины равны, значит, AB=BC, а значит треугольник равнобедренный. Итог: изначально мы предположили, что данный треугольник не равнобедренный, и доказали обратное. Значит, любой треугольник с совпадающей высотой и медианой - равнобедренный. Что и требовалось доказать.
Объяснение:
ABCD -паралелограм , т. М - середина сторониCD .Продовжимо
відрізок АМ до перетину із прямою ВС . Точку їх перетину
позначимо К , тоді за ІІ ознакою рівності трикутників ΔAMD = ΔKMC .
Звідси CK = AD = a . Крім того BC = AD = a i ∠CKM = 30° . Прведемо
BH ⊥AM , тоді за властивістю катета , що лежить проти кута 30° маємо
BH = 1/2 BK = 1/2 * (2a ) = a . Отже , BH = BC = a .