В равнобедренном треугольнике АВС (АВ=АС) угол А равен 100°, отрезок ВD- биссектриса треугольника. Докажите, что ВD+AD=BC ———————
Сделаем рисунок.
∠АВС=∠АСВ=(180°-100°):2=40°
Проведем биссектрису СМ и отрезок МD.
В ∆ АМС и ∆ АDВ стороны АВ=АС по условию.
Угол при А - общий, углы АВD=АСМ =40:2=20° как половины равных углов.
∆ АМС = ∆ АDВ по равной стороне и прилежащим к ней равным углам.
Следовательно, АМ=АD, и ∆ АМD - равнобедренный.
Углы треугольников АВС и АМD при их основаниях равны, они соответственные при пересечении двух прямых секущими, и поэтому МD||ВС (свойство), ⇒
∠ DМС=∠МСВ как накрестлежащие при параллельных прямых и секущей.
А т.к. СМ - биссектриса, то ∠ DСМ=∠ МСD
∆ МDС - равнобедренный, МD=DС.
Отложим на ВС отрезок ВК=ВD Соединим D и К.
∆ КВD - равнобедренный по построению.
Угол КВD=20°. следовательно, углы при КD=по 80°
Тогда угол СКD=100° как смежный углу DKB .
∠ КДС=180°-100°-40°=40° ⇒ ∆ СКD - равнобедренный. и равен треугольнику МАD по стороне и прилежащим к ней углам. КС=АD
ВС=ВК+КС, КС=АD, ⇒ ВD+АD=ВС, что и требовалось доказать.
Биссектриса образовала со стороной параллелограмма углы, градусные меры которых относятся ка 1:3, кроме того их сумма равна 180, т.е.
180:(1+3)=45. Тогда углы рассматриваемого треугольника равны 2х, 90-х и 45, по свойству треугольника 2х+90-х+45=х+135=180, х=45, треугольник равнобедренный, боковыми сторонами которого явл стороны параллелограмма, а углы параллелограмма равны 2х=90, 180-90=90, следовательно, наш параллелограмм явл квадратом.