На прямій позначено точки Х, Y і Z, причому точки Х і Y лежать по один бік від точки Z, а точки Х і Z – по один бік від точки Y. Яка з цих трьох точок лежить між двома іншими?
Положим что окружность вписанная в треугольник ABC касается AB,BC,CA в точках N,M,X , аналогично окружность ACD касается CD,DA,CA в точках G,L,K по условию окружности касаются друг друга следовательно X=K. Тогда AX=AN, BN=BD, CD=CX тоже самое CG=CX , GD=LD, AL=AX тогда получим AB+CD=BC+AD (свойства описанного четырехугольника), теперь удобнее всего воспользоваться достаточным условием вписанности в четырехугольник окружности, оно гласит что в четырехугольник ABCD можно вписать окружность тогда, когда окружности вписанные в треугольники ABC и ADC или BCD и ABD касаются друг друга. Это можно доказать отдельно, если расписать все по отрезкам касательных и воспользоваться тем, что AB+CD=BC+AD.
Рассмотрим треугольник, образованный высотой, биссектрисой и гипотенузой. косинус угла между высотой и биссектрисой будет равен cos(fi)=h/l fi = arccos(h/l) угол между высотой и меньшим катетов составит gamma=45-arccos(h/l) этот же угол будет являться наименьшим углом исходного треугольника, в силу подобия исходному двух малы треугольников, на которые высота делит исходный. для нахождения площади разобьём исходный треугольник на три фигуры - 1. квадрат, построенный на биссектрисе как диагонали s1=1/2*l^2 2. длинный треугольник с катетом l/√2 и противолежащим ему углом gamma его площадь s2=1/2*l/√2*l/√2/tg(gamma)=l^2/4*ctg(gamma) 3. треугольник покороче, с катетом l/√2 и прилежащим к нему углом gamma s3=l^2/4*tg(gamma) суммарная площадь s=l^2/4(2+tg(gamma)+ctg(gamma)) подставим наши числовые данные gamma=45-arccos(5/7)=0.5847° остренький угол :) s=1/16(2+tg(0.5847°)+ctg(0.5847°))=12.25
Это можно доказать отдельно, если расписать все по отрезкам касательных и воспользоваться тем, что AB+CD=BC+AD.