Условие задачи составлено некорректно. ——
Данному в вопросе условию соответствуют четырехугольники на рисунке 2 вложения, равенство боковых сторон которых по данному условию доказать нельзя. Возможные варианты полного условия задачи:
а) Для равенства второй пары сторон должно быть дано равенство параллельных сторон: В четырехугольнике две стороны параллельны и равны, а диагонали взаимно перпендикулярны. Докажите, что две другие стороны равны между собой.
Сторона АВ равна и параллельна СD. Прямоугольные треугольники АОВ и СОD равны по гипотенузе и острым ( накрестлежащим) углам. Тогда равны и треугольники ВОС и АОD по двум катетам. Отсюда следует равенство АD=ВС. Следовательно, данный четырехугольник ромб или, как частный случай ромба, квадрат.
б) В четырехугольнике две стороны параллельны, а диагонали равны и взаимно перпендикулярны. Докажите, что две другие стороны равны между собой.
Здесь для доказательства равенства второй пары сторон перпендикулярность диагоналей не имеет значения. (см. рисунок). Доказывается через равенство площадей треугольников ВАD и СDA ( их высоты равны, BD=AC, АD- общая). Как следствие из Теоремы об отношении площадей треугольника острые углы между равными сторонами равны, из чего следует равенство ∆ ABD=∆ ACD и АВ=CD.
в) В четырехугольнике две стороны параллельны друг другу, а две другие перпендикулярны диагоналям. Докажите, что перпендикулярные диагоналям стороны равны между собой. (Решение есть на , повторять его здесь нет необходимости.)
Предположим, что треугольник со сторонами 5, 7, 2√6 прямоугольный.
Тогда, по теореме Пифагора его стороны должны удовлетворять условию c² = a² + b² - квадрат гипотенузы равен сумме квадратов двух катетов.
Очевидно, что в таком случае, сторона 7 будет гипотенузой (как наибольшая сторона).
Проверим по теореме Пифагора:
7² = 5² + (2√6)²
49 = 25 + 4*6
49 = 25 + 24
49 = 49
Тождество верное => искомый треугольник является прямоугольным.
Ч.т.д