В условии ошибка. Если сторона квадрата 24, то его диагональ 24√2 ≈ 34. Тогда в треугольнике ASC сторона АС больше суммы двух других сторон: 34 > 13 + 13, т.е. треугольник с такими сторонами не существует.
Встречается такая же задача с другими данными:
Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.
Пирамида правильная, значит в основании лежит квадрат, а боковые грани - равные равнобедренные треугольники.
Проведем SH⊥CD. Тогда CH = HD (треугольник SCD равнобедренный).
CH = HD = 1/2 CD = 5.
ΔSCH: ∠SHC = 90°, по теореме Пифагора:
SH = √(SC² - CH²) = √(169 - 25) = √144 = 12
Sпов = Sосн + Sбок
Sосн = AD² = 10² = 100
Sбок = 1/2 Pосн · SH = 1/2 · 10 · 4 · 12 = 240
Sпов = 100 + 240 = 340 ед. кв.
Заметим, что малая диагональ сечения равна диагонали основания - как противоположные стороны прямоугольника, то есть dc=а√2.
Значит сторона сечения тоже равна а√2 (так как острый угол ромба равен 60°, а это значит что треугольник, образованный сторонами ромба и его малой диагональю, равносторонний).
Итак, b=а√2.
Найдем большую диагональ сечения (ромба). Половина этой диагонали находится по Пифагору:
Dc/2=√[b²-(d/2)²]=√[2a²-(2a²/4)]=√[2a²-(a²/2)]=√[(3a²/2)]=a√(3/2)=a√6/2.
Тогда Dс=a√6.
Найдем значение отрезка СС2 - расстояние, на котором плоскость сечения пересекает ребро параллелепипеда СС1.
По Пифагору СС2=√(Dс²-Do²)=√(6a²-2a²)=2a.
Угол между двумя пересекающимися плоскостями - это двугранный угол, образованный полуплоскостями и измеряется величиной его линейного угла, получаемого при пересечении двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его ребру (то есть перпендикулярной к обеим плоскостям).
Тогда синус угла наклона плоскости сечения к плоскости основания (или угол между ними) равен отношению СС2 к большой диагонали сечения Dс, то есть угол наклона плоскости сечения к плоскости основания равен α=arcSin(2a/а√6) или α=arcSin (√6/3).
Углом между плоскостью и не перпендикулярной ей прямой называется угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость.
Тогда угол наклона бокового ребра АА1 параллепипеда к плоскости сечения равен 90°- α. Но Sin(90-α)=Сosα, а Cosα=√(1-6/9)=√3/3.
В силу параллельности всех боковых ребер параллелепипеда, они все наклонены к плоскости сечения под этим углом.
Итак, угол наклона бокового ребра параллелепипеда к плоскости сечения равен arcCos(√3/3).
Расстояние от точки О до плоскости сечения равно ОН= АО*Sinα=(а√2/2)*(√6/3)=а√3/3.
Опустим перпендикуляр DD2 из точки D на плоскость сечения. Тогда DD2=OH=а√3/3. АD2 - это проекция ребра АD на плоскость сечения.
Значит <D2AD - это угол между ребром АD и плоскостью сечения.
Sin<(D2AD)=(DD2/AD)=(а√3/3)/a= √3/3.
В силу симметричности ребер АD и АВ относительно диагонали АС основания и в силу попарной параллельности ребер обоих оснований, они все наклонены к плоскости сечения под этим углом.
Итак, угол наклона ребер основания параллелепипеда к плоскости сечения равен arcSin(√3/3).
ответ: угол наклона боковых ребер параллелепипеда к плоскости сечения равен
arcCos(√3/3).
угол наклона ребер основания параллелепипеда к плоскости сечения равен
arcSin(√3/3).