a/2
Объяснение:
Разделим отрезок АВ = а на два отрезка: AC = х и CB = (а-х).
Отметим середины отрезков M и N: AM = MC = x/2 и CN = NB = (a-x)/2.
Расстояние между серединами отрезков:
MN = MC + CN = x/2 + (a-x)/2 = (x + a - x)/2 = a/2
Сторона треугольника АВ = "а". Пусть точка О - точка пересечения биссектрис. Опустим перпендикуляр ОН на сторону АВ. Пусть в прямоугольном треугольнике АОН катет АН = х. Тогда в прямоугольном треугольнике ВОН катет ВН = (а-х). Выразим радиус r вписанной окружности (общий катет треугольников) через второй катет и угол, прилежащий к этому катету. r = x*tg(A/2) и r = (a-x)*tg(B/2). Приравняем оба выражения.
x*tg(A/2) = (a-x)*tg(B/2) => x = a*tg(B/2)/(tg(A/2)+tg(B/2)).
Тогда r = a*tg(B/2)*tg(A/2)/(tg(A/2)+tg(B/2)).
Найдем биссектрисы АО и ВО из треугольников АОН и ВОН:
АО = r/Sin(A/2) = a*tg(A/2)*tg(B/2)/(Sin(A/2)(tg(A/2)+tg(B/2))).
BO = r/Sin(B/2) = a*tg(A/2)*tg(B/2)/(Sin(B/2)(tg(A/2)+tg(B/2))).
a/2
Пусть точки М и N - середины отрезков AC и CB соответсвенно.
Продолжим отрезок AB до точки D такой, что BD=AM, значит MD=AB=a и BD=MC => N-середина MD, так как MC=BD и СN=NB => MN=a/2