Обозначим стороны АВ=АС=b, BC=a, биссектрису BL=d, угол ABL=альфа, тогда углы при основании треугольника ABC=ACB=(2альфа)угол при вершине BAC=(180-4альфа)и альфа должен быть < 45 градусов, т.е. 2альфа должен быть < 90 градусов, т.к. в равнобедренном треугольнике угол при основании не может быть тупым...угол ALB=(3альфа)по т.синусов: a*sin(2альфа) = b*sin(180-4альфа)отсюда a = b*sin(180-4альфа) / sin(2альфа) = b*sin(4альфа) / sin(2альфа) = = 2*b*cos(2альфа)по т.синусов: AL*sin(3альфа) = b*sin(альфа)по условию задачи d = BC - AL = a - b*sin(альфа) / sin(3альфа) = = 2*b*cos(2альфа) - b*sin(альфа) / sin(3альфа) = = b* ( 2*cos(2альфа) - sin(альфа) / sin(3альфа) )для длины биссектрисы справедлива формула: d = 2*a*b*cos(альфа) / (a+b)отдельно запишем a+b = 2*b*cos(2альфа) + b = b*(2*cos(2альфа) + 1)d = 2*2*b*cos(2альфа)*b*cos(альфа) / ( b*(2*cos(2альфа) + 1) ) = = 4*b*cos(2альфа)*cos(альфа) / (2*cos(2альфа) + 1)если приравнять два получившихся равенства для биссектрисы d, то длина стороны b сократится и останется тригонометрическое равенство:sin(альфа) / sin(3альфа) = = 2*cos(2альфа) - 4*cos(2альфа)*cos(альфа) / (2*cos(2альфа) + 1)после несложных преобразований можно получить равенство:2*cos(2альфа)*(4*(cos(альфа))^2 - 1) = 1 + 4*cos(2альфа)*cos(альфа)это выражение можно привести к полному уравнению четвертой степени относительно косинуса альфа одно из решений здесь очевидно... cos(альфа) = +- 1/2но этот угол не может быть в равнобедренном треугольнике (см. выше...)))если решать оставшееся кубическое уравнение, то единственным подходящим решением получается cos(альфа) =примерно= 0.94 (0.93969)это угол около 20 градусовтогда углы данного равнобедренного треугольника 40, 40, 100
Дано: ромб АВСД. АВ=20 см АС- диагональ, АС=24см Найти ВД. Решение. Обозначим точку пересечения диагоналей О. Рассмотрим Δ АВО, он прямоугольный, т.т. диагонали ромба взаимно перпендикулярны. ВО² = АВ² - АО² по теореме Пифагора АО=1/2 АС, т.к. диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам АО= 24 : 2 = 12(см) ВО²=20² - 12² = 256 ВО=√256 = 16 (см) ВД= 2ВО=16*2=32(см)
Р= АВ+ВС+СД+АД АВ²=АО²+ВО²=(24/2)²+(18/2)²=12²+9²=144+81=225 АВ=√225=15 АВ=15(см) сторона 18*12=216(см²) площадь ромба 216 : 15 = 14,4(см) расстояние между параллельными сторонами Р= 15+15+15+15=60(см), т.к. все стороны ромба равны
