Медиана треугольника делит его на два равновеликих.
ВМ- медиана ∆ АВС.
Ѕ(АВМ)=Ѕ(СВМ)
АК- медиана ∆ АВМ.
Ѕ(АВК)=Ѕ(АМК)=Ѕ(АВК):2
Рассмотрим ∆ МВС с пересекающей его АР.
По т.Менелая 
⇒
СР:РВ=2:1
В ∆ МВС и ∆ ВКР угол В - общий.
Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то отношение площадей этих треугольников равно отношению произведений сторон, заключающих равные углы.
Пусть ВР=х, ВК=у, тогда ВС=3х, ВМ=2у
Ѕ(МСВ):Ѕ(ВКР)=(2у•3х):ух=6:1
Примем Ѕ(ВКР)=а
Тогда Ѕ(ВМС)=6а, а Ѕ(КРСМ)=6а-а=5а
Т.к. Ѕ(АВМ)=Ѕ(ВСМ), то Ѕ(АВС)=2Ѕ(ВСМ=12а ⇒
Ѕ(АВС):Ѕ(КРСМ)=12а:5а=
———————
Из найденного можно найти отношение площадей любых частей ∆ АВС. Например, отношение S(ABK) ( или равновеликого ему ∆ АКМ) к площади четырехугольника KPCM равно 3а:5а=0,6
или
Ѕ(КРСМ):Ѕ(АВК)=5:3
1. Найдем отношение ВР к СР;
Через вершину В проводим прямую параллельную АС.
АР продлеваем за точку Р до пересечения с прямой в точке Е.
=> ВЕ параллельно AC;
Треугольники ЕВК и АКМ подобны, следовательно:
ЕВ относится к АМ как ВК относится к КМ;
2) ВК/КМ=1, и ЕВ=АМ; ( треугольники равны).
Отсюда следует: ЕВ = АС/2;
Треугольники ЕВР и АСР подобны
=> ВР/СР = ЕВ/АС = 1/2;
итак СР = ВС*2/3; и, соответственно, площадь треугольника АСР
S ACP= S*2/3; (S - площадь треугольника АВС).
т.к S треугольника ВАМ=1/2 S АВС,
а S АКМ=1/2 S АВМ, то
S AKM = S/4;
Таким образом, площадь четырехугольника КРСМ равна
S KPCM = S ACP - S AKM = S*(2/3 - 1/4) = S*5/12;
ответ 12/5;
Объяснение:
Дано:
ABCD - трапеция
АВ = CD
ВС = 4
СН - высота
КМ = 10 (средняя линия: АК = КB, СМ = MD)
HD = ?
1) АВ = CD, т.е. трапеция - равнобедренная
2) Свойство трапеции: средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна полусумме оснований:
КМ = (ВС + AD)/2
10 = (4 +AD)/2 → 20 = 4 + AD → AD = 20 -4 → AD = 16
3) Свойство равнобедренной трапеции:
Высота (CH), опущенная из вершины (C) на большее основание (AD), делит его на большой отрезок (AH), который равен полусумме оснований и меньший (HD), равный полуразности оснований:
HD = (AD - BC)/2 = (16 - 4)/2 = 6
HD = 6.