Точка дотику кола, вписаного в трикутник, ділить одну з його сторін на відрізки довжиною 4 см та 9 см. Знайдіть сторони трикутника, якщо відомо, що його периметр дорівнює 50 см.
Обозначим один из углов, на которые диагональ делит тупой угол параллелограмма 2α, тогда второй угол равен 3α. Внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых (основания параллелограмма) и секущей (диагональ) равны ( см. рисунок) Поэтому найдем сумму углов треугольника, образованного сторонами и диагональю 30⁰+2α+3α=180⁰, 5α=150⁰, α=30⁰ Диагональ делит параллелограмм на два прямоугольных треугольника с углами 30⁰, 2α=60⁰, 3α = 90⁰ Обозначим большую сторону параллелограмма х, тогда вторая сторона равна х√3/2, высота параллелограмма равна диагонали и равна х/2 Периметр: 2·(х+х√3/2)=2р, х=2р/(2+√3) Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту: основание- меньшая сторона, которая равна х√3/2 S=x²√3/4 подставим вместо х найденное значение: 2р/(2+√3)
Параллелограмм АВСД с боковыми сторонами а и основанием b, угол А=30, диагональ ВД делит угол В на части: углы АВД/ДВС=3/2 Периметр Р=2(а+b)=2р, а+b=р. a=p-b По свойству параллелограмма сумма углов, прилежащих к одной стороне равна 180°, поэтому угол В = 180 – 30 = 150°. Так как противоположные углы в параллелограмме равны, имеем угол А = угол С = 30°, угол В = угол D=150°. Следовательно угол АВД = 3/5 угла В = 90 угол ДВС = 2/5 угла В = 60 Исходя из этого, получается, что ΔАВД и ΔДВС - прямоугольные (угол АВД=ВДС=90), ВД является еще и высотой параллелограмма h, опущенной на боковую сторону. h=b*sin 30=b/2 b=a/cos 30=2a/√3 a+2a/√3=p a=p/(1+2/√3)=p√3/(√3+2) b=2p/(√3+2) h=b/2=p/(√3+2) Формула площади через стороны и высоты параллелограммa S=ah=p√3/(√3+2)*p/(√3+2)=p²√3/(7+4√3)=p²(7√3-12)
Внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых (основания параллелограмма) и секущей (диагональ) равны ( см. рисунок)
Поэтому найдем сумму углов треугольника, образованного сторонами и диагональю
30⁰+2α+3α=180⁰,
5α=150⁰,
α=30⁰
Диагональ делит параллелограмм на два прямоугольных треугольника с углами
30⁰, 2α=60⁰, 3α = 90⁰
Обозначим большую сторону параллелограмма х, тогда вторая сторона равна х√3/2, высота параллелограмма равна диагонали и равна х/2
Периметр:
2·(х+х√3/2)=2р,
х=2р/(2+√3)
Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту:
основание- меньшая сторона, которая равна х√3/2
S=x²√3/4
подставим вместо х найденное значение: 2р/(2+√3)
S=4р²√3/4·(2+√3)²=р²√3/(7+2√3)=р²(7√3-12) кв. ед