Знайдіть суміжні кути, якщо: 1) один з них на 40 градусів менший за інший 2) один з них утричі більший за інший 3) їхні градусні міри відносяться як 5 : 4 4) один з них становить 20% від іншого
1 По теореме синусов, отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу описанной окружности. 2R = 8√3/sin(60°) R = 4√3/(√3/2) = 8 2 Верхний рисунок Теорема косинусов для треугольника 6,10,13 13²=10²+6²-2*10*6*cos(fi) 169=100+36-120*cos(fi) 33=-120*cos(fi) 11=-40*cos(fi) cos(fi)=-11/40 Теорема косинусов для треугольника 6,10,x x²=10²+6²-2*10*6*cos(180-fi) x²=100+36-120*(-cos(fi)) x²=136+120*cos(fi) x²=136+120*(-11/40) = 136-3*11 = 103 x=√103 -------------------- Казалось, что разное расположение диагоналей даст разные результаты. Но нет, на нижнем рисунке сперва теорема косинусов для треугольника 6,10,13 13²=10²+6²-2*10*6*cos(180-fi) 169=100+36+120*cos(fi) 33=120*cos(fi) 11=40*cos(fi) cos(fi)=11/40 Теорема косинусов для треугольника 6,10,x x²=10²+6²-2*10*6*cos(fi) x²=100+36-120*(cos(fi)) x²=136-120*cos(fi) x²=136-120*(11/40) = 136-3*11 = 103 x=√103 3 Центр вписанной окружности = точка пересечения биссектрис углов треугольника. Поэтому отрезки 5 и 12 от вершин острых углов до точки касания вписанной окружностью гипотенузы имеют равные им отрезки 5 и 12 до точек касания окружностью катетов. Т.к. треугольник прямоуголен, то отрезки катетов от вершины прямого угла и два радиуса вписанной окружности образуют квадрат со стороной 3. И длины катетов составляют 3+5=8 см 3+12=15 см
Точки A,B,C,D расположены произвольно , значит они могут образовывать между собой 1)выпуклый четырёхугольник 2)невыпуклый четырёхугольник
Рассмотрим первый вариант, в нем рассмотрим два варианта когда
1.AC и BD диагонали в порядке ABCD 2. AC и BD стороны в порядке ACBD
1. Положим что векторы AO=a , OC=b, DO=c ,OB=d тогда Векторы AB=a+d , BC=b-d , CD=-(b+c) , AD=a-c , AC=a+b , BD=-(c+d) Подставляя в выражение 2AC*BD=AD^2+BC^2-AC^2-CD^2 и преобразовывая , получаем тождество 2. Аналогично те же векторы , но AB=a+b, CD=-(c+d) , AD=a-c , BC=d-b , AC=a+d , BD=-(b+c) Подставляя , так же получаем тождество.
Рассмотрим второй вариант , положим что точка D лежит внутри треугольника ABC. Векторы DA=a , DB=b , DC=c получаем AC=c-a , BD= -b , CD=-c , AD=-a , AB=b-a , BC=c-b Подставляя в выражение , опять получаем тождество .
1)x+40°+x=180°
2x=140°
x=70°-1 угол
110°-2 угол
2)3x+x=180°
4x=180°
x=45°-1 угол
135°-2 угол
3)5x+4x=180°
9x=180°
x=20°
80°-1 угол
100°-2 угол
4)0,2x+x=180°
1,2x=180°
x=150°-1 угол
30°-2 угол