С ГЕОМЕТРИЕЙ 1. Два равных равнобедренных треугольника MNK с основанием MK и KNP с основанием NP имеют общую боковую сторону. Докажите, что четырехугольник MNPK – параллелограмм.
2. Сторона AD параллелограмма ABCD равна 9 см, а его диагонали равны 14 см и 10 см. Точка O является точкой пересечения диагоналей. Чему равен периметр треугольника AOD?
3. Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O, 4. В трапеции ABCD с большим основанием AD диагональ AC перпендикулярна к боковой стороне CD, 5. В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом A, K – середина BC. Через точку K проведены прямые NK и KM, параллельные катетам треугольника.
1) Определите вид четырехугольника ANKM, объясните свой
выбор.
2) Найти периметр этого четырехугольника, если катеты
треугольника 12 и 5.
6. В параллелограмме ABCD через точку пересечения его
диагоналей O проведена прямая NM, параллельная стороне BC. Докажите, что NM проходит через середины сторон AB и CD.
1.1 Докажем, что стороны MN и KP параллельны. Рассмотрим треугольники MKP и MKN. Так как треугольники MNK и MKP равнобедренные, то у них основания MK и MP равны,а углы при вершине M также равны. Поэтому треугольники MKP и MKN равны по стороне-углу-стороне. Таким образом, у них равны боковые стороны KP и KN. Значит, стороны MN и KP параллельны.
1.2 Докажем, что стороны MP и NK равны. Рассмотрим треугольники MKN и KPN. Они равны по теореме с косинусами, так как у них две стороны (KN и KP) равны, а угол при вершине K также равен. Значит, у них равны боковые стороны NK и MP. Следовательно, стороны MP и NK равны.
Таким образом, мы показали, что стороны MN и KP параллельны, а стороны MP и NK равны. Это значит, что четырехугольник MNPK является параллелограммом.
2. Для нахождения периметра треугольника AOD нам нужно вычислить сумму длин его сторон. В данном случае у нас есть две диагонали AD и AO, а также сторона OD.
2.1 Для начала найдем сторону OD. Поскольку AD является диагональю параллелограмма ABCD, она делит его пополам. Значит, OD равна половине длины диагонали AD, то есть OD = 9 см / 2 = 4.5 см.
2.2 Теперь найдем длину стороны AO. Мы знаем, что точка O является точкой пересечения диагоналей, поэтому она делит каждую из них пополам. Так как мы знаем длины диагоналей AD и AO, мы можем применить теорему Пифагора для нахождения длины стороны AO. По формуле a^2 + b^2 = c^2, где c - гипотенуза, а a и b - катеты, получаем:
14^2 = AD^2 + AO^2
10^2 = AO^2 + OD^2
Решим эту систему уравнений. Выразим AD и OD:
AD^2 = 14^2 - AO^2
OD^2 = 10^2 - AO^2
Заменим AD и OD во втором уравнении:
(9/2)^2 = 10^2 - AO^2
81/4 = 100 - AO^2
AO^2 = 100 - 81/4
AO^2 = 319/4
AO = √(319/4)
AO ≈ 8.99 см
2.3 Теперь найдем длину стороны OD. Мы уже ранее вычислили, что OD = 4.5 см.
2.4 Наконец, найдем периметр треугольника AOD. Он равен сумме длин его сторон:
Периметр AOD = AO + OD + AD
Периметр AOD ≈ 8.99 см + 4.5 см + 9 см
Периметр AOD ≈ 22.49 см
Таким образом, периметр треугольника AOD составляет примерно 22.49 см.
3. По условию, мы уже знаем, что диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O. Для доказательства, что прямая NM, проведенная через точку пересечения диагоналей, проходит через середины сторон AB и CD в параллелограмме ABCD, мы можем воспользоваться свойствами параллелограмма.
3.1 В параллелограмме ABCD диагонали делят друг друга пополам. Значит, основания треугольника AON равны (AO = NO) и основания треугольника DOM равны (DO = MO).
3.2 Также, в параллелограмме ABCD противоположные стороны равны (AB = CD), а параллельные стороны равны (AB || CD).
3.3 Известно, что NM параллельна стороне BC, тогда мы можем сделать вывод, что NM также параллельна стороне AD (параллельность - транзитивность отношения параллельности).
3.4 Из свойств параллелограмма также следует, что прямая NM делит стороны AB и CD пополам. Таким образом, NM проходит через середины сторон AB и CD.
Таким образом, мы доказали, что прямая NM, проведенная через точку пересечения диагоналей, проходит через середины сторон AB и CD в параллелограмме ABCD.