Все три треугольника подобны исходному. Предположим, что коэффициенты подобия этих треугольников x, y, z. То есть a1/a = b1/b = c1/c = x, a2/a = b2/b = c2/c = y, a3/a = b3/b = c3/c = z. Далее, легко видеть, что, например, a1 + a2 + a3 = a; то есть параллельные линии делят стороны на три отрезка, равных соответственным сторонам каждого из трех треугольников.
Поэтому x + y + z = 1;
С другой стороны, если отношение сторон равно x, то отношение площадей равно x^2, то есть
x = √(S1/S); y = √(S2/S); z = √(S3/S);
поэтому
√(S1/S) + √(S2/S) + √(S3/S) = 1;
или
S = (√(S1) + √(S2) +√(S3))^2;
Кстати, в порядке критики другого решения (принадлежащего перу ученого GodzillAMC :) ) - из него получается, например, если выбрать в качестве точки одну из вершин, что S = 3S;
График первой функции — парабола, имеющая вершину в точке (0; -9), ветви параболы направлены вверхГрафик второй функции — прямая совпадающая с осью 0хнаходим точки пересечения графиков:решаем систему из двух данных уравнений, получаем 3 и -3 — это точки к которых парабола пересекает прямуюСтроим графикиПлощадь находим по формуле:[tex]
Все три треугольника подобны исходному. Предположим, что коэффициенты подобия этих треугольников x, y, z. То есть a1/a = b1/b = c1/c = x, a2/a = b2/b = c2/c = y, a3/a = b3/b = c3/c = z. Далее, легко видеть, что, например, a1 + a2 + a3 = a; то есть параллельные линии делят стороны на три отрезка, равных соответственным сторонам каждого из трех треугольников.
Поэтому x + y + z = 1;
С другой стороны, если отношение сторон равно x, то отношение площадей равно x^2, то есть
x = √(S1/S); y = √(S2/S); z = √(S3/S);
поэтому
√(S1/S) + √(S2/S) + √(S3/S) = 1;
или
S = (√(S1) + √(S2) +√(S3))^2;
Кстати, в порядке критики другого решения (принадлежащего перу ученого GodzillAMC :) ) - из него получается, например, если выбрать в качестве точки одну из вершин, что S = 3S;