Question

60 вершины треугольника abc имеют координаты a(-2,0,1), b(-1,2,3) c( 8,-4,9). найти периметр и площадь треугольника

Answer 1

Определим координаты сторон треугольника (от координат конца вычитаем координаты начала):

$AB(1; 2; 2); \ BC (9; -6; 6); \ AC (10; -4; 8)$

Найдём длину стороны:

$AB = \sqrt{1^{2} + 2^{2} + 2^{2}} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$

$BC = \sqrt{9^{2} + (-6)^{2} + 6^{2}} = \sqrt{81 + 36 + 36} = \sqrt{153} = 3\sqrt{17}$

$AC = \sqrt{10^{2} + (-4)^{2} + 8^{2}} = \sqrt{100 + 16 + 64} = \sqrt{180} = 6\sqrt{5}$

Отсюда периметр равен:

$P = AB + BC + AC = 3 + 3\sqrt{17} + 6\sqrt{5}$

Определим площадь треугольника по формуле Герона:

$p = \dfrac{P}{2} = \dfrac{3 + 3\sqrt{17} + 6\sqrt{5}}{2}$

$S = \sqrt{p(p - AB)(p-BC)(p-AC)} =\\\\= \sqrt{\dfrac{3 + 3\sqrt{17} + 6\sqrt{5}}{2} \bigg(\dfrac{3 + 3\sqrt{17} + 6\sqrt{5}}{2} - 3 \bigg)\bigg(\dfrac{3 + 3\sqrt{17} + 6\sqrt{5}}{2} - 3\sqrt{17}\bigg)\bigg(3 + 3\sqrt{17} + 6\sqrt{5}}{2} - 6\sqrt{5} \bigg)} = 18$

ответ: $P = 3 + 3\sqrt{17} + 6\sqrt{5}; \ S = 18$

Замечание. Вычисление площади треугольника упущено, ответ точный.