На сторонах угла ∡ ABC точки A и C находятся на равных расстояниях от вершины угла BA=BC. Через эти точки к сторонам угла проведены перпендикуляры AE⊥ BD, CD⊥ BE. 1. Докажи равенство треугольников ΔAFD и ΔCFE.
2. Определи величину угла, под которым перпендикуляр CD пересекает BA, если AE пересекает BC под углом 71°.
1. Назови треугольники, равенство которых позволит доказать равенство ΔAFD и ΔCFE:
ΔBA
= Δ
.
По какому признаку доказывается это равенство?
По второму
По третьему
По первому
Отметь элементы, равенство которых в этих треугольниках позволяет применять выбранный признак:
углы
BDC
CBD
EAB
DCB
BEA
ABE
стороны
AE
BC
CD
BA
DB
EB
По какому признаку доказывается равенство ΔAFD и ΔCFE?
По третьему
По второму
По первому
Отметь элементы, равенство которых в треугольниках ΔAFD и ΔCFE позволяет применять выбранный признак:
углы
EFC
FAD
FCE
DFA
CEF
ADF
стороны
FC
AD
EF
CE
FA
DF
2. Величина угла, под которым перпендикуляр CD пересекает прямую BA —
1) Давай с чертежом разберёмся. Трапеция АВСD. Основания АD (нижнее) и ВС( верхнее), Угол А = 60, угол В = 120, Точка О - центр окружности. Из точки О проведём перпендикуляр к ВС ( радиус) Появилась точка К. ΔВОК прямоугольный с углом 60 и 30 ( весь угол В = 120) 2) Из В опустим высоту ВМ. ΔАВМ прямоугольный с гипотенузой = а и углом 30 АМ = а/2 по т Пифагора ВМ = а√3/2 ( это высота трапеции) 3) ΔВКО КО = а√3/4 (половина ВМ) ВК =х ВО = 2х Составим по т. Пифагора 3х² = 3а²/16⇒ х² = а²/16⇒х = а/4 4) ВC = а/2, АD=3а/2 5) Площадь трапеции = произведению полусуммы оснований на высоту. S =(а/2 + 3а/2)·а√3/2 :2 = 2а ·а√3/2 :2 = а²√3/2
Построим треугольник , площадь которого равна площади трапеции. Пусть АВСД ---трапеция, АД II ВС. Из точки С проводим прямую , параллельно диагонали ВД(вниз) до пересечения с продолжением АД Пусть это точка М. ДВСМпараллелограмм. ΔАСМ имеет ту же высоту , что и трапеция, это расстояние от точки С до стороны АД . Обозначим эту высоту СК, а АМ=АД+ВС(ВС=ДМ). Очевидно, что площадь Δ АСМ = площади АВСД S=CK·(AD+BC)\2 Стороны ΔАСМ - это АС=20 , СМ=ВД=21, АМ=АД+ВС=2·14,5=29. Треугольник АСД подобен Египетскому , то есть , прямоугольный , и его площадь равна S=(20·21)/2=210 (кв . ед ) ответ : 210
1. Назови треугольники, равенство которых позволит доказать равенство ΔAFD и ΔCFE:
ΔBAЕ = ΔBCD
По какому признаку доказывается это равенство?
По второму
Отметь элементы, равенство которых в этих треугольниках позволяет применять выбранный признак:
углы
∠CBD = ∠ABE
иначе, ∠В - общий для этих треугольников.
∠EAB = ∠DCB
По условию AE⊥ BD, CD⊥ BE, значит эти углы равны 90°
стороны
BC = BA
По какому признаку доказывается равенство ΔAFD и ΔCFE?
По второму
Отметь элементы, равенство которых в треугольниках ΔAFD и ΔCFE позволяет применять выбранный признак:
углы
∠FAD = ∠FCE
так как эти углы прямые
∠CEF = ∠ADF
из равенства треугольников ΔBAЕ и ΔBCD
стороны
AD = CE
AD = BD - BA, CE = BE - BC
BD = BE из равенства треугольников ΔBAЕ и ΔBCD, ВА = ВС по условию, значит AD = CE.
2. Величина угла, под которым перпендикуляр CD пересекает прямую BA — 71°
Угол, под которым CD пересекает ВА, - это ∠ADF.
Угол, под которым АЕ пересекает ВС, - это ∠СЕF, по условию ∠CEF = 71°.
∠ADF = ∠CEF = 71° из равенства треугольников AFD и CFE.