Question

Основание пирамиды — ромб с острым углом в 60 . Высота пирамиды равна 3, а все двугранные углы при основании пирамиды 30 . Вычислите:
a) высоту боковой грани пирамиды;
b) сторону основания пирамиды;
c) площадь боковой поверхности пирамиды

Answer 1

a) высота боковой грани пирамиды - 6

б) сторона основания пирамиды - 12

c) площадь боковой поверхности пирамиды - 144

Объяснение:

Проведём перпендикуляр ОМ к стороне ромба ДС.

SO⊥OM ( SO - высота ромба, SO⊥(АСД), ОМ ∈(АСД) ⇒ SO⊥ОМ), ОМ⊥ДС ⇒ по "теореме о трёх перпендикулярах"  SМ⊥ДС.

SМ - высотa боковой грани пирамиды

∠SМД - линейный угол двугранного угла при основании пирамиды.

∠SМД = 30° - по условию

а) Рассмотрим ΔSОМ(∠О=90°)

Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. ⇒ SM = 2*SO = 2*3= 6 - высота боковой грани пирамиды

ОМ = SO / tg 30° = $3\sqrt{3}$

b) Рассмотрим ΔCОМ(∠М=90°).

Т.к. диагонали ромба являются биссектрисами его углов, то ∠ОСМ=∠ВСО=30°, ОМ - катет лежащий против угла в 30° ⇒

гипотенуза ОС=2*ОМ = $6\sqrt{3}$

 Рассмотрим ΔCОВ(∠О=90°).

ВС = ОС/ cos 30° = $\frac{6\sqrt{3}*2 }{\sqrt{3} }$ = 12 - Сторона основания пирамиды(все стороны ромба равны)

с) Площадь боковой поверхности пирамиды вычисляется по формуле:

Sб = 4 * S (ΔSDC)

S (ΔSDC) = $\frac{1}{2} *SM*DC = \frac{1}{2} *6 * 12=36$

Sб = 4 * 36 = 144