2.71. Даны катет а и противолежащий острый угол а прямоугольного треугольника. Найдите другие стороны и углы этого треугольника. 1) а+ 5 см, а = 30° 2) а = 2 дм, а = ағ5 = 45°; 3) а = - 3 см, а = 60°.
1) В задаче дан катет а и острый угол а прямоугольного треугольника. Нам нужно найти другие стороны и углы этого треугольника.
Углу а противолежащий катет равен а. Так как это прямоугольный треугольник, то мы знаем, что сумма углов в треугольнике равна 180°. Значит, третий угол будет равен 90° - а.
Для нахождения другого катета применим тригонометрический закон синусов:
sin α / а = sin β / c,
где α - угол противолежащий катету а, β - угол противолежащий катету c, c - третий катет.
sin 30° / а = sin (90° - а) / c.
Подставим известные значения:
sin 30° / а = sin (90° - 30°) / c.
sin 30° / а = sin 60° / c.
Зная, что sin 30° = 1/2 и sin 60° = √3/2, подставим значения:
1/2 / а = √3/2 / c.
Умножим оба выражения на 2:
1 / а = √3 / c.
Теперь найдем значение катета c:
c = а * (√3 / 1) = а√3.
Таким образом, в данной задаче другой катет равен а√3, а третий угол будет равен 90° - а.
2) В данной задаче также даны катет а и острый угол а прямоугольного треугольника.
Применим аналогичные рассуждения:
Углу а противолежащий катет равен а. Третий угол будет равен 90° - а.
Используем тригонометрический закон синусов:
sin α / а = sin β / c,
где α - угол противолежащий катету а, β - угол противолежащий катету c, c - третий катет.
sin 45° / а = sin (90° - 45°) / c.
sin 45° / а = sin 45° / c.
Подставим известные значения:
1/√2 / а = 1/√2 / c.
На этом этапе видим, что коэффициенты углов и катетов сокращаются друг с другом.
То есть, а = с.
Выходит, что в данной задаче другой катет равен а, а третий угол будет равен 90° - а.
3) В этой задаче задан отрицательный катет а и угол а прямоугольного треугольника.
Как и в предыдущих задачах, найдем третий угол:
90° - а.
Теперь используем тригонометрический закон синусов:
sin α / а = sin β / c,
где α - угол противолежащий катету а, β - угол противолежащий катету c, c - третий катет.
sin 60° / а = sin (90° - 60°) / c.
sin 60° / а = sin 30° / c.
Подставим значения:
√3/2 / (-3) = 1/2 / c.
Упростим выражение:
-√3 / 6 = 1/2 / c.
Домножим обе части выражения на 6:
-√3 / c = 3.
Умножим обе части выражения на c:
-√3 = 3c.
Разделим обе части выражения на 3:
c = -√3 / 3.
Таким образом, в данной задаче другой катет равен -√3 / 3, а третий угол будет равен 90° - а.
1) В задаче дан катет а и острый угол а прямоугольного треугольника. Нам нужно найти другие стороны и углы этого треугольника.
Углу а противолежащий катет равен а. Так как это прямоугольный треугольник, то мы знаем, что сумма углов в треугольнике равна 180°. Значит, третий угол будет равен 90° - а.
Для нахождения другого катета применим тригонометрический закон синусов:
sin α / а = sin β / c,
где α - угол противолежащий катету а, β - угол противолежащий катету c, c - третий катет.
sin 30° / а = sin (90° - а) / c.
Подставим известные значения:
sin 30° / а = sin (90° - 30°) / c.
sin 30° / а = sin 60° / c.
Зная, что sin 30° = 1/2 и sin 60° = √3/2, подставим значения:
1/2 / а = √3/2 / c.
Умножим оба выражения на 2:
1 / а = √3 / c.
Теперь найдем значение катета c:
c = а * (√3 / 1) = а√3.
Таким образом, в данной задаче другой катет равен а√3, а третий угол будет равен 90° - а.
2) В данной задаче также даны катет а и острый угол а прямоугольного треугольника.
Применим аналогичные рассуждения:
Углу а противолежащий катет равен а. Третий угол будет равен 90° - а.
Используем тригонометрический закон синусов:
sin α / а = sin β / c,
где α - угол противолежащий катету а, β - угол противолежащий катету c, c - третий катет.
sin 45° / а = sin (90° - 45°) / c.
sin 45° / а = sin 45° / c.
Подставим известные значения:
1/√2 / а = 1/√2 / c.
На этом этапе видим, что коэффициенты углов и катетов сокращаются друг с другом.
То есть, а = с.
Выходит, что в данной задаче другой катет равен а, а третий угол будет равен 90° - а.
3) В этой задаче задан отрицательный катет а и угол а прямоугольного треугольника.
Как и в предыдущих задачах, найдем третий угол:
90° - а.
Теперь используем тригонометрический закон синусов:
sin α / а = sin β / c,
где α - угол противолежащий катету а, β - угол противолежащий катету c, c - третий катет.
sin 60° / а = sin (90° - 60°) / c.
sin 60° / а = sin 30° / c.
Подставим значения:
√3/2 / (-3) = 1/2 / c.
Упростим выражение:
-√3 / 6 = 1/2 / c.
Домножим обе части выражения на 6:
-√3 / c = 3.
Умножим обе части выражения на c:
-√3 = 3c.
Разделим обе части выражения на 3:
c = -√3 / 3.
Таким образом, в данной задаче другой катет равен -√3 / 3, а третий угол будет равен 90° - а.
С уважением, учитель.