Question

Даны два вектора m(-1;2) и n(4;x). ответьте на вопросы:
a) При каких значениях x прямые, содержащие данные векторы, коллинеарны?
б) При каких значениях x прямые, содержащие данные векторы, перпендикулярны?
в) При каких значениях x прямые, содержащие данные векторы, образуют тупой угол?

Answer 1

Объяснение:

$\displaystyle \overrightarrow{m} (-1;\;2);\;\;\;\overrightarrow{n}(4;\;x)\\$

1. Векторы коллинеарны, если

$\displaystyle \frac{x_m}{x_n}=\frac{y_m}{y_n}$

Подставим значения и найдем х:

$\displaystyle \frac{-1}{4}=\frac{2}{x}\\\\ x=\frac{2*4}{-1}=-8$

⇒ Векторы коллиниарны, если х=-8

б) Векторы перпендикулярны, если

$\displaystyle x_m*x_n+y_m*y_n = 0\\\\-1*4+2*x=0\\-4+2x=0\\2x=4\\x=2$

При x=2, прямые, содержащие данные векторы, перпендикулярны.

в) Угол между векторами будет тупым, если косинус угла между векторами будет отрицательным.

Угол между векторами:

$\displaystyle cos \alpha =\frac{\overrightarrow{m}*\overrightarrow{n} }{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}| }=\frac{x_mx_n+y_my_n}{\sqrt{x_m^2+y_m^2} *\sqrt{x_n^2+y_n^2} }\\\\\frac{x_mx_n+y_my_n}{\sqrt{x_m^2+y_m^2} *\sqrt{x_n^2+y_n^2} }$

Подставим значения:

$\displaystyle \frac{-1*4+2x}{\sqrt{1+4}*\sqrt{16+x^2} }$

Дробь отрицательна, если числитель и знаменатель имеют разные знаки.

Так как знаменатель положителен, значит

$\displaystyle -4+2x$

При x<2 угол между векторами будет тупым.