P = 3*a = 36 a = 36/3 = 12 теперь рассмотрим правильный треугольник. Его высота (по т. Пифагора) a² = (a/2)²+ h² a² = a²/4 + h² 3/4*a² = h² h = a/2*√3 = 6√3 Высота в правильном треугольнике является медианой и биссектрисой. Т.к. медианы точкой пересечения делятся в отношении 1 к 2, то радиус описанной окружности - это 2/3 медианы R = 2/3*h = a/3*√3 = a/√3 = 12/√3 = 4√3 а радиус вписанной - это 1/3 медианы r = 1/3*h = a/6*√3 = a/(2√3) = 12/(2√3) = 2√3 Длина описанной окружности L = 2πR = 8π√3 Площадь вписанной окружности S = πr² = π(2√3)² = π*3*4 = 12π
Центром симметрии параллелограмма является точка пересечения его диагоналей. Доказательство: Пусть X — произвольная точка параллелограмма. Проведём луч XO. На пересечении XO со стороной CD отметим точку X1. Рассмотрим треугольники XOB и X1OD: 1) BO=OD (по свойству диагоналей параллелограмма) 2) ∠BOX=∠DOX1 (как вертикальные)
3) ∠XBO=∠X1DO (как внутренние накрест лежащие при AB ∥ CD и секущей BD).
Следовательно, треугольники XOB и X1OD равны (по стороне и двум прилежащим к ней углам).
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: XO=X1O, то есть точки X и X1 симметричны относительно точки O.
Имеем: точка, симметричная произвольной точке параллелограмма, также принадлежит параллелограмму. Следовательно, параллелограмм является централь-симметричной фигурой.
a = 36/3 = 12
теперь рассмотрим правильный треугольник. Его высота (по т. Пифагора)
a² = (a/2)²+ h²
a² = a²/4 + h²
3/4*a² = h²
h = a/2*√3 = 6√3
Высота в правильном треугольнике является медианой и биссектрисой. Т.к. медианы точкой пересечения делятся в отношении 1 к 2, то радиус описанной окружности - это 2/3 медианы
R = 2/3*h = a/3*√3 = a/√3 = 12/√3 = 4√3
а радиус вписанной - это 1/3 медианы
r = 1/3*h = a/6*√3 = a/(2√3) = 12/(2√3) = 2√3
Длина описанной окружности
L = 2πR = 8π√3
Площадь вписанной окружности
S = πr² = π(2√3)² = π*3*4 = 12π