Найдите объём пирамиды, основанием которой является треугольник со сторонами 2, корень из 3, 2 и все боковые ребра которой наклоненны к плоскости основание под углов в 60
Объем пирамиды находят по формуле V=Sh:3 Площадь S основания найдем по формуле площади равнобедренного треугольника через его стороны 2,√3,2. S=0,25b√(4a²-b²), где а - боковая сторона, b- основание треугольника. S=0,25√3√(16-3)=0,25*√3√13 см² (Можно и по классической формуле =ah:2, но это будет немного дольше - надо находить высоту треугольника) Высоту НО пирамиды найдем из треугольника, образованного ее ребром НВ- гипотенуза, и катетами - расстояние ОВ от основания высоты до вершин треугольника и высота НО, с углом НВО=60°. Расстояние от основания высоты до вершин треугольника - это радиус описанной вокруг треугольника окружности, так как все ребра наклонены к основанию пирамиды под углом 60°, и на этом основании их проекции равны этому радиусу. Радиус описанной окружности найдем по формуле для радиуса окружности, описанной вокруг равнобедренного треугольника. R=a²:√(4a²-b²)R=4:√(16-3)=4:√13 см НО=R:Ctg(60°) = (4:√13):1/√3=(4√3):√13 см
Обозначим коэффициент пропорциональности через k, тогда диагонали ромба 3k и 4k. С одной стороны площадь ромба равна половине произведения диагоналей, то есть: Sabcd = 1/2 d₁ * d₂ = 1/2 *3k *4k = 6k² C другой стороны площадь ромба равна произведению стороны на высоту, то есть: B Sabcd = AH * BC OC = 1,5k BO = 2k H Из ΔBOC по теореме Пифагора BC² = (1,5k)² + (2k)² = 6,25k² A O C BC = 2,5k Sabcd = 3,6 * 2,5k = 9k Следовательно D 6k² = 9k 2k = 3 k = 1,5 Значит BC = 2,5 * 1,5 = 3,75 Pabcd = 4 * 3,75 = 15
Стороны ромба равны, следовательно сторона ромба= 40:4=10 см. Проведем диагональ, противоположную углу в 60 градусов. Имеем равнобедренный треугольник. опустим перпендикуляр на противоположную диагональ. Т.К. треуг. у нас равнобедренный, то он является и биссектрисой, т.е разделил угол 60 градусов пополам. Теперь воспользуемся теоремой, что катет , лежащий против угла в 30 градусов = половине гипотенузы, имеем половина искомой диагонали = 10:2=5, вся диагональ = 10 см. А чертеж просто нарисуй ромб.
V=Sh:3
Площадь S основания найдем по формуле площади равнобедренного треугольника через его стороны 2,√3,2.
S=0,25b√(4a²-b²), где а - боковая сторона, b- основание треугольника.
S=0,25√3√(16-3)=0,25*√3√13 см²
(Можно и по классической формуле =ah:2, но это будет немного дольше - надо находить высоту треугольника)
Высоту НО пирамиды найдем из треугольника, образованного ее ребром
НВ- гипотенуза, и катетами - расстояние ОВ от основания высоты до вершин треугольника и высота НО, с углом НВО=60°.
Расстояние от основания высоты до вершин треугольника - это радиус описанной вокруг треугольника окружности, так как все ребра наклонены к основанию пирамиды под углом 60°, и на этом основании их проекции равны этому радиусу.
Радиус описанной окружности найдем по формуле для радиуса окружности, описанной вокруг равнобедренного треугольника.
R=a²:√(4a²-b²)R=4:√(16-3)=4:√13 см
НО=R:Ctg(60°) = (4:√13):1/√3=(4√3):√13 см
V=Sh:3
V=(0,25*√3√13)(4√3):√13):3=1 см³