Question

В трапеции ABCD с основаниями АВ и CD диагонали пересекаются в точке Е. Площадь треугольника АВЕ равна 72, площадь треугольника CDE равна 50. Найдите площадь трапеции ABCD.

Answer 1

242

Объяснение:

Площадь треугольника CDE равна половине произведения стороны CD на высоту, опущенную на неё из вершины E (обозначим её $h_1$). Тогда справедливо следующее равенство:

$S_{CDE}=50\\\frac{CD*h_1}{2}=50\\CD*h_1=100\\h_1=\frac{100}{CD}$

Аналогично в треугольнике ABE:

$S_{ABE}=72\\\frac{AB*h_2}{72}=72\\AB*h_2=144\\h_2=\frac{144}{AB}$

Поскольку перескающиеся диагонали в трапеции отсекают подобные треугольники (ABE и CDE), найдём коэффициент подобия:

$k^2=\frac{S_{ABE}}{S_{CDE}}=\frac{72}{50}=1,44\\k=\sqrt{1,44}=1,2$

Поскольку в подобных треугольниках соответствующие элементы пропорциональны, то справделивы следующие соотношения:

$h_2=k*h_1\\\\\frac{144}{AB}=1,2*\frac{100}{CD}\\\\\frac{120}{AB}=\frac{100}{CD}\\\\AB=1,2*CD$

Площадь трапеции ABCD равна произведению полусуммы её оснований (AB и CD) на высоту, которая равна сумме $h_1$ и $h_2$, то есть

$S_{ABCD}=\frac{AB+CD}{2}*(h_1+h_2)=\frac{1,2CD+CD}{2}*(\frac{100}{CD}+\frac{144}{1,2CD})=\frac{2,2CD}{2}*\frac{120+144}{1,2CD}=1,1CD*\frac{220}{CD}=1,1*220=242$