Высота остроугольного треугольника равна 12 см. На каком расстоянии от вершины нужно провести прямую, перпендикулярную этой высоте, чтобы площадь треугольника разделить пополам?
ответ: D) 6√2
——————
Объяснение (подробно).
Назовем данный треугольник АВС. Высота ВН треугольника перпендикулярна стороне АС , к которой проведена. Прямая КМ перпендикулярна высоте.
Если две прямые на плоскости перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны.
МК параллельна стороне АС, к которой проведена высота, и отсекает от треугольника АВС подобный ему ∆ КВМ по равным углам ( угол при вершине общий, соответственные углы при пересечении параллельных прямых АС и КМ секущими АВ и СВ равны).
Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия.
Ѕ(КВМ):Ѕ(АВС)=k²=1/2
k=√(1/2)=√(2/4)= 
Отношение линейных размеров сходственных элементов подобных фигур равно коэффициенту их подобия.
Отношение высоты ВО в ∆ КВМ к высоте ВН в ∆ АВС равно k=
BO:12= => ВО= (12√2):2=6√2 - искомое расстояние.
Треугольники АВС и ADC лежат в разных плоскостях, АВ=ВС=AD=CD=4 см, АС=6 см .BD=√21 см. Найдите угол между плоскостями АВС и ADC.
Объяснение:
1 ) Пусть ВН⊥АС .Тогда ВН-медиана ,тк ΔАВС-равнобедренный , и АН=НС = 3 см.
ΔВСН-прямоугольный , по т Пифагора ВН=√(СН²- ВС²)=√(16-9)=√7 (см).
2)Отрезок DH-медиана для ΔАDC, тк Н-середина АС.Тогда для ΔCDH по т. Пифагора DH=√7 см.
Медиана DH для ΔСDH является высотой по свойству медианы равнобедренного треугольника.
3)Тк.DH⊥AC,BH⊥AC , то ∠ВНD- линейный угол двугранного угла между плоскостями АВС и ADC.
По т. косинусов DB²=DH²+BH²-2*DH*BH*cos (∠BHD),
(√21)²= 2*(√7)²-2*√7*√7 *cos (∠BHD),
21=14-14*cos (∠BHD) , -14cos (∠BHD)=7 , cos (∠BHD)= - 1/2.
∠BHD=120° .