Отрезки МК и NP параллельны соседним сторонам прямоугольника, => соответственно равны им, пересекаются под прямым углом и делят АВСD на 4 прямоугольника, (неважно, равной или разной площади). Обозначим точку пересечения МК и NP буквой О.
а)
Стороны четырехугольника МNKP являются диагоналями получившихся прямоугольников и делят каждый из них пополам (свойство). Поэтому площадь MNKP равна сумме площадей этих половин, т.е. равна половине площади ABCD.
б)
Площадь выпуклого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.
Так как S(ABCD)=AB•CD, МК=АD и NP=AB, а sin90°=1, то S(MNKP)=MK•NP•sin90°=0,5•S(ABCD).
в)
S(MNKP)=S∆MNP+S∆NKP=0.5•MO•NP+0.5•KO•NP=0,5•NP•(MO+OK) => S(MNKP)=0,5•NP•MK =>
S(MNKP) =0,5•S(ABCD), т.к. NP=AB и МК=АD
В соответствии с заданием треугольники ВРТ и ВАС подобны с коэффициентом 1:4.
Обозначим точку касания окружности с отрезком РТ как точка F, а отрезок ВР за х, боковая сторона трапеции равна 3х.
Диаметр окружности и отрезок BF относятся как 1:3, поэтому BF = 18/3 = 6 см, а PF = √(х² - 36).
Верхнее основание трапеции - отрезок РТ равен 2√(х² - 36), а нижнее - в 4 раза больше, то есть АС = 8√(х² - 36).
По свойству вписанной окружности суммы оснований и боковых сторон равны.
3х + 3х = 2√(х² - 36) + 8√(х² - 36).
6х = 10√(х² - 36). Возведём обе части в квадрат.
64х² = 100х² - 3600.
64х² = 3600.
х = √3600/√64 = 60/8= 15/2.
Периметр АРТС равен (3х + 3х)*2 = 12х = 12*(15/2) = 6*15 = 90 см.