Каноническое уравнение прямой, проходящей через точки А(х1;у1) и В(х2;у2): (X-x1)/(x2-x1)=(Y-y1)/(y2-y1). направляющий вектор этой прямой: p{p1;p2}, или p{(x2-x1);(y2-y1)}. Тогда вектор нормали (перпендикуляр к) этой прямой: n{p2;-p1} или n{(y2-y1);-(x2-x1)}. Этот же вектор - направляющий вектор для прямой L, проходящей через точку М((x1+x2)/2;(y1+y2)/2) - середину прямой АВ. Формула для уравнения прямой, проходящей через точку M((x1+x2)/2;(y1+y2)/2) и имеющей направляющий вектор рm{(y2-y1);-(x2-x1)}, то есть уравнение прямой L: (X-(x1+x2)/2))/(y2-y1)=(Y-(y1+y2)/2)/-(x2-x1) - каноническое уравнение. Или: X(x2-x1) + Y(y2-y1) -(1/2)*[x2²-x1²+y2²-y1²] - общее уравнение с коэффициентами А=(x2-x1), В=(y2-y1) и С= -(1/2)*[x2²-x1²+y2²-y1²].
Второй вариант (для тех, кто еще не знает о направляющих и нормальных векторах, но знают о различных видах уравнений прямых): из канонического уравнения имеем: X(y2-y1)-x1(y2-y1)=Y(x2-x1)-y1(x2-x1) => Y(x2-x1)=X(y2-y1)-y1(x2-x1) => Y=X((y2-y1)/(x2-x1) -x1(y2-y1)/(x2-x1)+y1. Это уравнение прямой с угловым коэффициентом k=(y2-y1)/(x2-x1). Условие перпендикулярности прямых: k1=-1/k. Уравнение прямой L, перпендикулярной прямой AB и проходящей через точку М((x2+x1)/2;(y2+y1)/2)) (середина отрезка АВ), находим по формуле: Y-Ym=k1(X-Xm) или Y-(y2-y1)/2=-((x2-x1)/(y2-y1))*(X-(x2+x1)/2) отсюда общее уравнение прямой L: X(x2-x1)+Y(y2-y1)-(y2²-y1²)/2-(x2²-x1²)/2=0 или X(x2-x1) + Y(y2-y1) -(1/2)*(x2²-x1²+y2²-y1²).
Для проверки решения возьмем точки с реальными координатами и построим график(смотри приложение).
1. По солнцу В полдень солнце достигает высшей точки своего подъема – ЗЕНИТА, тени становятся самыми короткими за день. Если встать спиной к солнцу, то впереди север, сзади – юг, справа – восток, слева – запад, как на карте (а в южном полушарии все наоборот) .
2. По солнцу и часам Когда полдня дожидаться некогда, используют часы со стрелками. Часы положи горизонтально так, чтобы часовая стрелка смотрела на солнце. Теперь раздели угол между стрелкой и полуденным часом линией, идущей от центра пути пополам. Эта линия покажет на юг. Когда полуденный час? В двенадцать? В России часы переведены на 1 час вперед. Значит, полдень в 13 часов, а в летнее время в 14 часов.
3. По звездам Странники должны знать созвездия своего неба. Для начала ты должен уметь находить Большую и Малую медведицу. Конечная звезда хвоста Малой медведицы называется Полярной звездой. Ее можно найти, мысленно соединив две крайние звезды Большой медведицы и продолжив эту линию до первой яркой звезды – это и будет Полярная звезда. Если встать к ней лицом, то прямо перед тобой будет север.
4. Лесные компасы Все природные признаки сторон горизонта связаны с тем, что с юга – тепло, а с севера – холодно.
МУРАВЕЙНИКИ: Более пологие к югу, лепятся к дереву (камню) с южной стороны. ЯГОДЫ: созревают быстрее с южной стороны. ЛИШАЙНИКИ И МХИ: с северной стороны камней и деревьев. СМОЛА: на хвойных деревьях выступает с севера. В сырую погоду на стволах (особенно сосен) с севера темная полоса. Ранней весной СНЕГ ТАЕТ быстрее на южных склонах; ЛУНКИ у деревьев вытянуты к югу.
ВНИМАНИЕ ! Не доверяй кронам и годичным кольцам!
Никогда не используй один признак – сравни несколько.
Как же знание сторон горизонта не заблудиться? Для этого, выходя в путь, надо определить свое направление относительно сторон горизонта и время от времени сверять свой курс. Если будешь поворачивать – снова сориентируйся. Надо будет вернуться – поверни на 180. Например, ты шел азимутом 45 (С - В) , возвращаться надо: 45+180=225 (Ю – З) .
5. По Луне. Вообразите линию, соединяющую рога и продлите ее до горизон-та, там будет Юг. Нужно иметь часы и следующую таблицу:
Направление на луну. Время Первая четверть Полнолуние Последняя четверть 18:00 Юг Восток 21:00 Юго- запад Юго- восток 00:00 Запад Юг Восток 03:00 Юго- запад Юго- восток 06:00 Запад Юг Естественно, что время на часах должно быть местное. Если месяц похож на букву «Р» без палочки- он растущий, если на букву «С» -старый.
А(х1;у1) и В(х2;у2):
(X-x1)/(x2-x1)=(Y-y1)/(y2-y1).
направляющий вектор этой прямой:
p{p1;p2}, или p{(x2-x1);(y2-y1)}.
Тогда вектор нормали (перпендикуляр к) этой прямой:
n{p2;-p1} или n{(y2-y1);-(x2-x1)}.
Этот же вектор - направляющий вектор для прямой L, проходящей
через точку М((x1+x2)/2;(y1+y2)/2) - середину прямой АВ.
Формула для уравнения прямой, проходящей через точку
M((x1+x2)/2;(y1+y2)/2) и имеющей направляющий вектор
рm{(y2-y1);-(x2-x1)}, то есть уравнение прямой L:
(X-(x1+x2)/2))/(y2-y1)=(Y-(y1+y2)/2)/-(x2-x1) - каноническое уравнение.
Или:
X(x2-x1) + Y(y2-y1) -(1/2)*[x2²-x1²+y2²-y1²] - общее уравнение с коэффициентами А=(x2-x1), В=(y2-y1) и С= -(1/2)*[x2²-x1²+y2²-y1²].
Второй вариант (для тех, кто еще не знает о направляющих и нормальных векторах, но знают о различных видах уравнений прямых):
из канонического уравнения имеем:
X(y2-y1)-x1(y2-y1)=Y(x2-x1)-y1(x2-x1) =>
Y(x2-x1)=X(y2-y1)-y1(x2-x1) =>
Y=X((y2-y1)/(x2-x1) -x1(y2-y1)/(x2-x1)+y1.
Это уравнение прямой с угловым коэффициентом k=(y2-y1)/(x2-x1).
Условие перпендикулярности прямых: k1=-1/k.
Уравнение прямой L, перпендикулярной прямой AB и проходящей через точку М((x2+x1)/2;(y2+y1)/2)) (середина отрезка АВ), находим по формуле:
Y-Ym=k1(X-Xm) или
Y-(y2-y1)/2=-((x2-x1)/(y2-y1))*(X-(x2+x1)/2) отсюда общее уравнение прямой L:
X(x2-x1)+Y(y2-y1)-(y2²-y1²)/2-(x2²-x1²)/2=0 или
X(x2-x1) + Y(y2-y1) -(1/2)*(x2²-x1²+y2²-y1²).
Для проверки решения возьмем точки с реальными координатами и построим график(смотри приложение).