1. Т.к. АН и ВН - биссектрисы, то ∠ВАН=α/2, ∠ВАН=β/2.
Тогда в ∆АВН по теореме о сумме углов треугольника
∠АНВ=180°-(α/2 + β/2) = 180°- (α + β)/2
2. Аналогично первой задачи, получим:
∠А +∠В = 180° - ∠С = 180° - γ
∠АНВ=180°-(∠А/2 +∠В/2) = 180°- (180° - γ)/2 = 90° + γ/2.
3. Возможно ли, что бы одно биссектриса треугольник делила пополам вторую биссектрису?
Я думаю, это не возможно. Если одна биссектриса делила бы другую биссектрису пополам, то эти биссектрисы должны быть перпендикулярны. Такое возможно, например, у ромба.
О - центр окружности. Если построить вторую окружность - на отрезке МО, как на диаметре, то все основания [заданных в задаче] перпендикуляров будут лежать на этой окружности (надо объяснять, почему? :) - потому что МО - диаметр :) ). Кроме того, поскольку углы между [заданными в задаче] диаметрами первой окружности одинаковые, а во второй окружности это вписанные углы, то основания перпендикуляров делят вторую окружность на равные дуги. А равным дугам, как известно, соответствуют равные хорды [второй окружности]. Поэтому основания перпендикуляров являются вершинами правильного n - угольника, где n - число диаметров первой окружности. ЧТД.
Можно было бы усложнить условие, задав в начале не n диаметров, а правильный многоугольник с ЧЕТНЫМ числом вершин, например, 2m. Тогда основания перпендикуляров, опущенные на большие диагонали, образуют правильный m-угольник.
Сразу возникает вопрос, а что будет, если исходный правильный многоугольник имеет нечетное число сторон 2m + 1?
Ну, и еще :) А если точка М лежит за пределами окружности, что это меняет?
1.
9²-7²=MK²
81-49=32
MK=√32
MK=4√2
2.
S=1/2•DM•K
S=7•2√2=14√2