Question

Докажите равносильность неравенства 2sin²x-3sinxcosx-5cos² x>0 и 5ctg²x+3 ctgx-2<0

Answer 1

Для начала рассмотрим неравенство 2sin²x - 3sinxcosx - 5cos²x > 0.

Для удобства введем новое обозначение: y = sin x / cos x = tg x. Тогда мы можем переписать данное неравенство в виде:

2sin²x - 3sinxcosx - 5cos²x = 2y² - 3y - 5 > 0.

Заметим, что данное неравенство является квадратным трехчленом. Чтобы упростить его, найдем корни этого уравнения, которое будет выглядеть так:

2y² - 3y - 5 = 0.

Используем формулу дискриминанта для нахождения корней:

D = b² - 4ac = (-3)² - 4 * 2 * (-5) = 9 + 40 = 49.

Так как дискриминант положительный, то у нас два различных действительных корня. Используем формулу:

y₁ = (-b + √D) / (2a) = (3 + 7) / 4 = 10 / 4 = 5 / 2,

y₂ = (-b - √D) / (2a) = (3 - 7) / 4 = -4 / 4 = -1.

Итак, у нас есть два корня: y₁ = 5/2 и y₂ = -1. Проведем тестирование интервалов между корнями, чтобы определить знак неравенства 2y² - 3y - 5 > 0.

Рассмотрим интервалы:
1) (-∞, -1)
2) (-1, 5/2)
3) (5/2, +∞)

Выберем точку внутри каждого интервала:
1) y = -2
2) y = 0
3) y = 3

Подставим эти значения y в неравенство 2y² - 3y - 5 > 0:

1) 2(-2)² - 3(-2) - 5 = 8 + 6 - 5 = 9 > 0 (верно)
2) 2(0)² - 3(0) - 5 = 0 - 5 = -5 < 0 (неверно)
3) 2(3)² - 3(3) - 5 = 18 - 9 - 5 = 4 > 0 (верно)

Итак, неравенство 2sin²x - 3sinxcosx - 5cos²x > 0 верно только в интервалах (-∞, -1) и (5/2, +∞).

Теперь рассмотрим неравенство 5ctg²x + 3ctgx - 2 < 0.

Для удобства введем новое обозначение: z = ctg x = 1 / tg x. Тогда мы можем переписать данное неравенство в виде:

5ctg²x + 3ctgx - 2 = 5/z² + 3/z - 2 < 0.

Заметим, что данное неравенство также является квадратным трехчленом. Чтобы упростить его, найдем корни этого уравнения, которое будет выглядеть так:

5/z² + 3/z - 2 = 0.

Перепишем это уравнение в виде замены переменной:

5z² + 3z - 2 = 0.

Для нахождения корней данного уравнения воспользуемся квадратным трехчленом:

D = b² - 4ac = 3² - 4 * 5 * (-2) = 9 + 40 = 49.

Так как дискриминант положительный, то у нас два различных действительных корня:

z₁ = (-b + √D) / (2a) = (-3 + 7) / 10 = 4 / 10 = 2 / 5,

z₂ = (-b - √D) / (2a) = (-3 - 7) / 10 = -10 / 10 = -1.

Теперь проведем тестирование интервалов между корнями, чтобы определить знак неравенства 5z² + 3z - 2 < 0.

Рассмотрим интервалы:
1) (-∞, -1)
2) (-1, 2/5)
3) (2/5, +∞)

Выберем точку внутри каждого интервала:
1) z = -2
2) z = 0
3) z = 1

Подставим эти значения z в неравенство 5z² + 3z - 2 < 0:

1) 5(-2)² + 3(-2) - 2 = 20 - 6 - 2 = 12 > 0 (неверно)
2) 5(0)² + 3(0) - 2 = 0 - 2 = -2 < 0 (верно)
3) 5(1)² + 3(1) - 2 = 5 + 3 - 2 = 6 > 0 (неверно)

Итак, неравенство 5ctg²x + 3ctgx - 2 < 0 верно только в интервале (-1, 2/5).

Таким образом, мы получили, что неравенство 2sin²x - 3sinxcosx - 5cos²x > 0 равносильно неравенству 5ctg²x + 3ctgx - 2 < 0 только в интервале (-1, 2/5).